Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các bất phương trình sau:...

Giải các bất phương trình sau:

a) (sqrt {{x^2} – 4x – 12}  le x – 4)

b) ((x – 2)sqrt {{x^2} + 4}  le {x^2} – 4)

c) (sqrt {{x^2} – 8x}  ge 2(x + 1))

d) (sqrt {x(x + 3)}  le 6 – {x^2} – 3x)

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& sqrt {{x^2} – 4x – 12} le x – 4 cr&Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – 4x – 12 ge 0 hfill cr
x – 4 le 0 hfill cr
{x^2} – 4x – 12 le {(x – 4)^2} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
left[ matrix{
x le – 2 hfill cr
x ge 6 hfill cr} ight. hfill cr
x ge 4 hfill cr
4x le 28 hfill cr} ight. Leftrightarrow 6 le x le 7 cr} )

Vậy (S = [6, 7])

b) Ta có:

((x – 2)sqrt {{x^2} + 4}  le {x^2} – 4)

(Leftrightarrow (x – 2)(sqrt {{x^2} + 4}  – x – 2) le 0)

 + Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình

+ Với x > 2, ta có:

((x – 2)sqrt {{x^2} + 4}  le {x^2} – 4 )

(Leftrightarrow {x^2} + 4 le {(x + 2)^2} Leftrightarrow x ge 0)

Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.

+ Với x < 2, ta có:

(eqalign{
& (x – 2)sqrt {{x^2} + 4} le {x^2} – 4 cr&Leftrightarrow left[ matrix{
x + 2 > 0 hfill cr
left{ matrix{
x + 2 ge 0 hfill cr
{x^2} + 4 ge {(x + 2)^2} hfill cr} ight. hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x < – 2 hfill cr
left{ matrix{
x ge – 2 hfill cr
x le 0 hfill cr} ight. hfill cr} ight. Leftrightarrow x le 0 cr} )

Vậy (S = (-∞, 0] ∪ [2, +∞))

c) Bất phương trình đã cho tương đương với:

((I) Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – 8x ge 0 hfill cr
x + 1 < 0 hfill cr} ight.)

hoặc

((II) Leftrightarrow left{ matrix{
x + 1 ge 0 hfill cr
{x^2} – 8x ge 4{(x + 1)^2} hfill cr} ight.) 

Ta có:

(eqalign{
& (I) Leftrightarrow left{ matrix{
left[ matrix{
x le 0 hfill cr
x ge 8 hfill cr} ight. hfill cr
x < – 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x < – 1 cr
& (II), Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 1 hfill cr
3{x^2} + 16x + 4 le 0 hfill cr} ight.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 1 hfill cr
{{ – 8 – 2sqrt {13} } over 3} le x le {{ – 8 + 2sqrt {13} } over 3} hfill cr} ight. cr&Leftrightarrow – 1 le x le {{ – 8 + 2sqrt {13} } over 3} cr} )

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

(S = ( – infty , – 1) cup { m{[}} – 1,,{{2sqrt {13}  – 8} over 3}{ m{]}} = ( – infty ,{{2sqrt {13}  – 8} over 3}{ m{]}}) 

d) Đặt (t = sqrt {x(x + 3)} ,,,(t ge 0))

⇒ x² + 3x = t² ⇔ t² + t – 6 ≤ 0 ⇔  -3 ≤ t ≤ 2

Kết hợp với điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2  ⇔  0 ≤ x² + 3x ≤ 4

( Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} + 3x ge 0 hfill cr
{x^2} + 3x – 4 le 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
left[ matrix{
x le – 3 hfill cr
x ge 0 hfill cr} ight. hfill cr
– 4 le x le 1 hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left[ matrix{
– 4 le x le -3 hfill cr
0 le x le 1 hfill cr} ight.)

Vậy (S  = [-4, -3] ∪ [0, 1])