Bài 82 trang 33 sgk Toán 8 tập 1, Chứng minh:...

Chứng minh:

a) ({x^2} – 2xy + {y^2} + 1 > 0)  với mọi số thực x và y;

b) (x – {x^2} – 1 < 0)  với mọi số thực x.

Hướng dẫn làm bài:

a) ({x^2} – 2xy + {y^2} + 1 > 0)  với mọi số thực x và y

Ta có ({x^2} – 2xy + {y^2} + 1 = left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} ight) + 1)

=({left( {x – y} ight)^2} + 1 > 0) do ({left( {x – y} ight)^2} ge 0) với mọi x, y.

b) (x – {x^2} – 1 < 0)  với mọi số thực x.

Ta có (x – {x^2} – 1 =  – left( {{x^2} – x + 1} ight))

=( – left[ {{x^2} – 2.x.{1 over 2} + {{left( {{1 over 2}} ight)}^2} + {3 over 4}} ight])

= ( – left[ {{x^2} – 2x.{1 over 2} + {{left( {{1 over 2}} ight)}^2}} ight] – {3 over 4})

=( – {left( {x – {1 over 2}} ight)^2} – {3 over 4} < 0)  với mọi x do ({left( {x – {1 over 2}} ight)^2} ge 0)