Bài 75 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các phương trình...

Bài 75 

(eqalign{
& a),{log _3}left( {{3^x} – 1} ight).{log _3}left( {{3^{x + 1}} – 3} ight) = 12; cr 
& c),5sqrt {{{log }_2}left( { – x} ight)} = {log _2}sqrt {{x^2}} ; cr} )   

(eqalign{
& b),{log _{x – 1}}4 = 1 + {log _2}left( {x – 1} ight); cr
& d),{3^{{{log }_4} + {1 over 2}}} + ,{3^{{{log }_4} – {1 over 2}}} = sqrt x . cr} )                               

Giải

a) Điều kiện: (x > 0)

Ta có: (lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight).lo{g_3}left( {{3^{x + 1}} – 3} ight) = 12) 

(eqalign{
& Leftrightarrow lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight).lo{g_3}3left( {{3^x} – 1} ight) = 12 cr
& Leftrightarrow lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight)left[ {1 + lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight)} ight] = 12 cr} )

 ( Leftrightarrow log _3^2left( {{3^x} – 1} ight) + lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight) – 12 = 0) 

(eqalign{
& Leftrightarrow left[ matrix{
lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight) = – 4 hfill cr
lo{g_3}left( {{3^x} – 1} ight) = 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{3^x} – 1 = {1 over {81}} hfill cr
{3^x} – 1 = {3^3} = 27 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{3^x} = {{82} over {81}} hfill cr
{3^x} = 28 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {log _3}{{82} over {81}} hfill cr
x = {log _3}28 hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ {{{log }_3}28;{{log }_3}82 – 4} ight})

b) Điều kiện: (x > 1); (x e 2)

Ta có: ({log _{x – 1}}4 = {1 over {{{log }_4}left( {x – 1} ight)}} = {2 over {{{log }_2}left( {x – 1} ight)}}). Đặt (t = {log _2}left( {x – 1} ight))

Ta có phương trình:

(eqalign{
& {2 over t} = 1 + t Leftrightarrow {t^2} + t – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}left( {x – 1} ight) = 1 hfill cr
{log _2}left( {x – 1} ight) = – 2 hfill cr} ight.left[ matrix{
x = 3 hfill cr
x = {5 over 4} hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ {3;{5 over 4}} ight})

c) Điều kiện: ({log _2}left( { – x} ight) ge 0 Leftrightarrow  – x ge 1 Leftrightarrow x le  – 1)

    (5sqrt {{{log }_2}left( { – x} ight)}  = {log _2}sqrt {{x^2}}  Leftrightarrow 5sqrt {{{log }_2}left( { – x} ight)}  = {log _2}left( { – x} ight))    

 ( Leftrightarrow 5sqrt t  = t) với (t = {log _2}left( { – x} ight) ge 0) 

(eqalign{
& Leftrightarrow 25t = {t^2} Leftrightarrow left[ matrix{
t = 0 hfill cr
t = 25 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}left( { – x} ight) = 0 hfill cr
lo{g_2}left( { – x} ight) = 25 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = – {2^{25}} hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ { – 1; – {2^{25}}} ight})

d) Điều kiện: (x > 0)

Ta có: (sqrt x  = sqrt {{4^{{{log }_4}x}}}  = {2^{{{log }_4}x}})

Do đó ({3^{{1 over 2} + {{log }_4}x}} + {3^{{{log }_4}x – {1 over 2}}} = sqrt x  Leftrightarrow left( {sqrt 3  + {1 over {sqrt 3 }}} ight){3^{{{log }_4}x}} = {2^{{{log }_4}x}}) 

(eqalign{
& Leftrightarrow {4 over {sqrt 3 }} = {left( {{2 over 3}} ight)^{{{log }_4}x}} Leftrightarrow {log _4}x = {log _{{2 over 3}}}{4 over {sqrt 3 }} cr
& Leftrightarrow x = {4^{{{log }_{{2 over 3}}}{4 over {sqrt 3 }}}} cr} )

Vậy (S = left{ {{4^{{{log }_{{2 over 3}}}{4 over {sqrt 3 }}}}} ight})