Bài 7 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là...

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là

({b^2} + {c^2} = 5{a^2}) 

Hướng dẫn trả lời

Gọi G  là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.

Áp dụng công thức tính trung tuyến ta có      

(eqalign{
& G{B^2} = {4 over 9}B{M^2} = {1 over 9}(2{a^2} + 2{c^2} – {b^2}) cr
& G{C^2} = {4 over 9}C{N^2} = {1 over 9}(2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}) cr} )

Do đó (BM ot CN,, Leftrightarrow ,,B{G^2} + C{G^2} = B{C^2})

(eqalign{
& Leftrightarrow ,,{1 over 9}(2{a^2} + 2{c^2} – {b^2}) + {1 over 9}(2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}) = {a^2} cr
& Leftrightarrow ,,4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9{a^2} cr
& Leftrightarrow ,,{b^2} + {c^2} = 5{a^2} cr} )