Bài 7 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng...

Bài 7. Cho bốn điểm bất kì (A, B, C, D). Chứng minh rằng

(overrightarrow {DA} .overrightarrow {BC}  + overrightarrow {DB} .overrightarrow {CA}  + overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB}  = 0).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

Hướng dẫn trả lời

Ta có

(eqalign{
& ,,,,overrightarrow {DA} .overrightarrow {BC} + overrightarrow {DB} .overrightarrow {CA} + overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB} cr
& = overrightarrow {DA} (overrightarrow {DC} – overrightarrow {DB} ) + overrightarrow {DB} (overrightarrow {DA} – overrightarrow {DC} ) + overrightarrow {DC} (overrightarrow {DB} – overrightarrow {DA} ) cr
& = overrightarrow {DA} overrightarrow {DC} – overrightarrow {DA} overrightarrow {DB} + overrightarrow {DB} overrightarrow {DA} – overrightarrow {DB} overrightarrow {DC} + overrightarrow {DC} overrightarrow {DB} – overrightarrow {DC} overrightarrow {DA} = 0 cr} )

Gọi (D) là giao điểm của hai đường cao (AA’, BB’) của tam giác (ABC).

Ta có (overrightarrow {DA} .overrightarrow {BC}  = 0,;,,overrightarrow {DB} .overrightarrow {CA}  = 0)                 

Từ đó suy ra (overrightarrow {DC} .overrightarrow {AB}  = 0), do đó (DC ot AB). Vậy (D) nằm trên đường cao (CC’) của tam giác (ABC), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.