Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm...

Bài 3. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) (y = x^2+ x) tại (x_0= 1);

b) (y =  frac{1}{x}) tại (x_0= 2);

c) (y = frac{x+1}{x-1}) tại (x_0 = 0).

Giải:

a) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0 = 1). Ta có:

(∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1))

(= 3∆x + (∆x)^2)

( frac{Delta y}{Delta x} = 3 + ∆x); (mathop {lim }limits_{Delta x o 0} {{Delta y} over {Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x o 0} (3 + Delta x) = 3)

Vậy (f'(1) = 3).

b) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 2). Ta có:

(∆y = f(2 + ∆x) – f(2) =  frac{1}{2+Delta x}  –  frac{1}{2} = –  frac{Delta x}{2left ( 2+Delta x ight )});

( frac{Delta y}{Delta x}) = –  ( frac{1}{2left ( 2+Delta x ight )}); (mathop {lim }limits_{Delta x o 0} {{Delta y} over {Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x o 0} left( { – {1 over {2.(2 + Delta x)}}} ight) =  – {1 over 4})

Vậy (f'(2) = –   frac{1}{4}).

c) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 0).Ta có:

(∆y = f(∆x) – f(0) = frac{Delta x+1}{Delta x-1}- ( -1) =  frac{2Delta x}{Delta x-1});

( frac{Delta y}{Delta x}) = ( frac{2}{Delta x-1}) ; ( mathop {lim}limits_{Delta x ightarrow 0}) ( frac{Delta y}{Delta x}) = ( mathop {lim}limits_{Delta x ightarrow 0})  ( frac{2}{Delta x-1} = -2).

Vậy (f'(0) = -2).