Bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12
Giải bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12. Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành. ...
Giải bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12. Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
Đề bài
Xét hình phẳng D giới hạn bởi (y = sqrt {1 - {x^2}} ) và (y = 2(1-x))
a) Tính diện tích hình D
b) Quay hình D xung quanh trục (Ox). Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số (y=f(x);) (y=g(x)) và các đường thẳng (x=a; , , x=b , (a<b)) có diện tích được tính bởi công thức: (S = intlimits_a^b {left| {fleft( x ight) - gleft( x ight)} ight|dx.} )
Lời giải chi tiết
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
(eqalign{
& 2sqrt {1 - {x^2}} = 2(1 - x) Leftrightarrow left{ matrix{
1 - x ge 0 hfill cr
1 - {x^2} = {(1 - x)^2} hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1 hfill cr
2{x^2} - 2x = 0 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1 hfill cr
left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = 1 hfill cr}
ight. hfill cr}
ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = 1 hfill cr}
ight. cr} )
Đồ thị của hàm số (y = sqrt {1 - {x^2}} ) là một nửa elip ({x^2} + {{{y^2}} over 4} = 1) với (y ≥ 0.)
Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:
(eqalign{
& S = int_0^1 {left[ {2sqrt {1 - {x^2}} - 2(1 - x)}
ight]} dx cr
& = 2left[ {int_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} dx - int_0^1 {(1 - x)dx} } }
ight] cr} )
Tính (int_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} } dx) :
Đặt (x = sin t) , ta có: (dx = cost dt); (x=0 Rightarrow t= 0); (x=1 Rightarrow t={pi over 2})
Suy ra:
(eqalign{
& int_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} } dx = int_0^{{pi over 2}} {sqrt {1 - {{sin }^2}t} } .costdt cr
& = int_0^{{pi over 2}} {{mathop{
m cost}
olimits} .costdt = int_0^{{pi over 2}} {{{cos }^2}tdt} } cr
& = {1 over 2}int_0^{{pi over 2}} {(1 + cos 2t)dt = {1 over 2}} left[ {t + {1 over 2}sin 2t}
ight]left| {_0^{{pi over 2}}}
ight. = {pi over 4} cr
& int_0^1 {(1 - x)dx = (x - {{{x^2}} over 2})left| {_0^1}
ight.} = {1 over 2} cr
& Rightarrow D = 2({pi over 4} - {1 over 2}) = {pi over 2}-1 cr} )
b) Dựa vào hình trêm ta có thể tích cần tìm là:
(eqalign{
& V = 4pi int_0^1 {left[ {(1 - {x^2}) - (1 - {x})^2}
ight]} dx cr
& = 8pi int_0^1 {(x - {x^2}} )dx = 8pileft( {{{{x^2}} over 2} - {{{x^3}} over 3}}
ight)left| {_0^1}
ight. cr
& = 8pi ({1 over 2} - {1 over 3}) = {{4pi } over 3} , , (đvdt). cr} )
zaidap.com
