Bài 58 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Bài 58 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).

a)Chứng minh BK = CH.

b)Chứng minh KH//BC.

c)Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu c):

-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

 

Giải

 

a)Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:

(widehat {KBC} = widehat {HCB}) (∆ABC cân tại A)

BC là cạnh chung

=>∆BKC = ∆CHB

=>BK = CH

b)Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A)

BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH

Do đó : ({{AK} over {AB}} = {{AH} over {AC}}) =>KH // BC (định lí Ta lét đảo)

c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC

=>AM ⊥ BC tại I.

Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì (left{ {matrix{{hat I = hat H = {{90}^0}} cr {hat Cchung} cr} } ight.)

=>({{IC} over {HC}} = {{AC} over {BC}}hay{{{a over 2}} over {HC}} = {b over a} =  > HC = {{{a^2}} over {2b}})

=>(AH = b - {{{a^2}} over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} over {2b}})

Mà HK // BC => ({{HK} over {BC}} = {{AH} over {AC}} =  > HK = {{BC.AH} over {AC}})

=>(HK = {a over b}left( {{{2{b^2} - {a^2}} over {2b}}} ight) = {{2a{b^2} - {a^2}} over {2{b^2}}})