Bài 54 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (left( P ight)) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N.

Chứng minh rằng :

(a){V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = {V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}};)

(b){{SA} over {SK}} + {{SC} over {SM}} = {{SB} over {SL}} + {{SD} over {SN}}.)

Giải

(h.38)

 

a) Dễ thấy các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD đều có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích S của hình bình hành ABCD ; các hình chóp S.ABC, S.ACD, S.ABD, S.BCD có chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao h của hình chóp S.ABCD. Vậy

(eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = {V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}}  cr  &  = {{{V_{S.ABCD}}} over 2} = {V over 2}. cr} )

b) Ta có :

(eqalign{  & {{{V_{S.KLM}}} over {{V over 2}}} = {{SK} over {SA}}.{{SL} over {SB}}.{{SM} over {SC}},cr&{{{V_{S.KMN}}} over {{V over 2}}} = {{SK} over {SA}}.{{SM} over {SC}}.{{SN} over {SD}}  cr  &   cr} )

Tương tự

({{{V_{S.KLMN}}} over {{V over 2}}} = {{SL} over {SB}}.{{SM} over {SC}}.{{SN} over {SD}} + {{SL} over {SB}}.{{SN} over {SD}}.{{SK} over {SA}};;;;(2))

Từ (1) và (2) suy ra

({{SK} over {SA}}.{{SL} over {SB}}.{{SM} over {SC}} + {{SK} over {SA}}.{{SM} over {SC}}.{{SN} over {SD}} )

(= {{SL} over {SB}}.{{SM} over {SC}}.{{SN} over {SD}} + {{SL} over {SB}}.{{SN} over {SD}}.{{SK} over {SA}}.)

Nhân hai vế với ({{SA} over {SK}}.{{SB} over {SL}}.{{SC} over {SM}}.{{SD} over {SN}},) ta được đẳng thức phải chứng minh.

Sachbaitap.com