Bài 5 trang 68 SGK Hình học 12
Giải bài 5 trang 68 SGK Hình học 12. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu. ...
Giải bài 5 trang 68 SGK Hình học 12. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu.
Đề bài
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) ({x^2} + { m{ }}{y^{2}} + { m{ }}{z^2}-{ m{ }}8x{ m{ }} - { m{ }}2y{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0) ;
b) (3{x^2} + { m{ }}3{y^2} + { m{ }}3{z^2}-{ m{ }}6x{ m{ }} + { m{ }}8y{ m{ }} + { m{ }}15z{ m{ }}-{ m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: ({left( {x - a} ight)^2} + {left( {y - b} ight)^2} + {left( {z - c} ight)^2} = {R^2}), suy ra tâm (Ileft( {a;b;c} ight)) và bán kính bằng (R).
Cách 2: Phương trình có dạng ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,,left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} ight)) là phương trình mặt cầu có tâm (Ileft( {a;b;c} ight)) và bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} ).
Lời giải chi tiết
a)
Cách 1: Ta có phương trình : ({x^2} + { m{ }}{y^{2}} + { m{ }}{z^2}-{ m{ }}8x{ m{ }} - { m{ }}2y{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0)
( Leftrightarrow { m{ }}{left( {x{ m{ }}-{ m{ }}4} ight)^2} + { m{ }}{left( {y{ m{ }}-{ m{ }}1} ight)^2} + { m{ }}{z^2} = { m{ }}{4^2})
Đây là mặt cầu tâm (I(4; 1; 0)) và có bán kính (r = 4).
Cách 2: Ta có: (a = 4;,,b = 1;,,c = 0 ;,,d = 1 Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 > 0) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm (Ileft( {4;1;0} ight)), bán kính (R=4).
b)
Cách 1: Ta có phương trình:
(3{x^2} + { m{ }}3{y^2} + { m{ }}3{z^2}-{ m{ }}6x{ m{ }} + { m{ }}8y{ m{ }} + { m{ }}15z{ m{ }}-{ m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0)
(Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{ m{ - }}2x + {8 over 3}y + 5z{ m{ - }}1 = 0)
(⇔ (x-1)^{2}+(y+frac{4}{3})^{2}+(z+frac{5}{2})^{2}= (frac{19}{6})^{2}).
Đây là mặt cầu tâm (J(1; -frac{4}{3};-frac{5}{2})) và có bán kính là (R = frac{19}{6}).
Cách 2:
(egin{array}{l},,,,,,3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0
end{array})
Ta có: (a = 1;,,b = - frac{4}{3};,,c = - frac{5}{2};,,d = - 1 Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = frac{{336}}{{36}} > 0) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm (Jleft( {1; - frac{4}{3}; - frac{5}{2}} ight)), bán kính (R = frac{{19}}{6}).
soanbailop6.com
