Bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12
Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox. ...
Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox.
Đề bài
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục (Ox):
a) (y = 1 - x^2), (y = 0) ;
b) (y = cosx, y = 0, x = 0, x = π) ;
c) (y = tanx, y = 0, x = 0), (x=frac{pi }{4}) ;
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (y = fleft( x ight);;;y = gleft( x ight) , ) và hai đường thẳng (x=a; , , x=b , , , (a<b).) Khi quay hình phẳng trên quanh trục (Ox) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức: (V = pi intlimits_a^b {left| {{f^2}left( x ight) - {g^2}left( x ight)} ight|dx} .)
Lời giải chi tiết
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: (1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1).
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là :
(V=pi int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx=2pi int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx)
(=2pi left (frac{x^{5}}{5}- frac{2}{3}x^{3}+x ight )|_{0}^{1}=2pileft ( frac{1}{5}-frac{2}{3}+1 ight )=frac{16pi}{15}.)
b) Thể tích cần tìm là:
(V= pi int_{0}^{pi }cos^{2}xdx =frac{pi }{2}int_{0}^{pi}(1+cos2x)dx)
(=frac{pi }{2}left (x+frac{1}{2}sin2x ight )|_{0}^{pi }=frac{pi }{2}.pi =frac{pi ^{2}}{2})
c) Thể tích cần tìm là:
(V=piint_{0}^{frac{pi }{4}}tan^{2}xdx=piint_{0}^{frac{pi }{4} }left (frac{1}{cos^{2}x}-1 ight )dx)
(=pi left (tanx-x ight )|_{0}^{frac{pi }{4}}=pi (1-frac{pi }{4}))
(=frac{pi(4-pi)}{4}).
soanbailop6.com
