Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12
Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác O.ABC ...
Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác O.ABC
Đề bài
Cho hình chóp tam giác (O.ABC) có ba cạnh (OA, OB, OC) đôi một vuông góc với nhau và (OA = a, OB = b, OC = c). Hãy tính đường cao (OH) của hình chóp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi (H) là trọng tâm của (Delta{ABC}), chứng minh (OH ot (ABC)).
+) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính (OH).
Lời giải chi tiết
Kẻ (ADot BC, OH ot AD) ta chứng minh (OH) chính là đường cao của hình chóp.
(egin{array}{l}
left{ egin{array}{l}
BC ot OA
BC ot AH
end{array}
ight. Rightarrow BC ot left( {OAH}
ight) Rightarrow BC ot OH,,,,left( 1
ight)
left{ egin{array}{l}
AC ot BH
AC ot OB
end{array}
ight. Rightarrow AC ot left( {OBH}
ight) Rightarrow AC ot OH,,,,left( 2
ight)
left( 1
ight);left( 2
ight) Rightarrow OH ot left( {ABC}
ight)
end{array})
Vậy (OH) chính là đường cao của hình chóp.
(BC ot left( {OAH} ight) Rightarrow BC ot left( {OAD} ight) Rightarrow BC ot AD). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:
(OD.BC = OB.OC) nên (OD ={{bc} over {sqrt {{b^2} + {c^2}} }}) . Từ đó suy ra
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có: (AD = sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} over {{b^2} + {c^2}}}}) = (sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} over {{b^2} + {c^2}}}}) .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: (OH.AD = OA.OD) nên
(OH = {{abc} over {sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} over {{b^2} + {c^2}}}} = {{abc} over {sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}).
Chú ý: Ta thấy khi chóp tứ giác là chóp vuông (OA, OB, OC đôi một vuông góc) thì: (frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{O{A^2}}} + frac{1}{{O{B^2}}} + frac{1}{{O{C^2}}}). Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.
zaidap.com
