Bài 5 – Trang 80 – Hình học 12: Bài 2. Phương trình mặt phẳng...

Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là (A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6)).

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng ((ACD)) và ((BCD))

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng ((α)) đi qua cạnh (AB) và song song với cạnh (CD).

Giải:

a) Mặt phẳng ((ADC)) đi qua (A(5 ; 1 ; 3)) và chứa giá của các vectơ (overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)) và (overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)).

Vectơ (overrightarrow{n}=left [overrightarrow{AC},overrightarrow{AD} ight ] = (-2 ; -1 ; -1)) vuông góc với mặt phẳng ((ACD)).

Phương trình ((ACD)) có dạng:

(2(x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0).

hay (2x + y + z – 14 = 0).

Tương tự: Mặt phẳng ((BCD)) qua điểm (B(1 ; 6 ; 2)) và nhận vectơ (overrightarrow{m}=left [overrightarrow{BC},overrightarrow{BD} ight ]) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có :(overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)), (overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)) và

(overrightarrow{m}=left (egin{vmatrix} -6 & 2 -6 & 4 end{vmatrix}; egin{vmatrix} 2 &4 4& 3 end{vmatrix};egin{vmatrix} 4 & -6 3& -6 end{vmatrix} ight ))

      (= (-12 ; -10 ; -6))

Xét  (overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)) thì (overrightarrow{m}=-2overrightarrow{m_{1}}) nên (overrightarrow{m_{1}}) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((BCD)). Phương trình mặt phẳng ((BCD)) có dạng:

       (6(x – 1) + 5(y – 6) +3(z – 2) = 0)

hay  (6x + 5y + 3z – 42 = 0).

b) Mặt phẳng (( α )) qua cạnh (AB) và song song với (CD) thì (( α )) qua (A) và nhận

 (overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; 1)) , (overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)) làm vectơ chỉ phương.

Vectơ (overrightarrow{n}=left [overrightarrow{AB},overrightarrow{CD} ight ] = (10 ; 9 ; 5)) là vectơ pháp tuyến của (( α )).

Phương trình mặt phẳng (( α )) có dạng : (10x + 9y + 5z – 74 = 0).