Bài tập 5 – Trang 90 – SGK Hình học 12: Phương trình đường thẳng trong không gian...

Bài 5.  Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng ((α)) :

a) d: (left{egin{matrix} x=12+4t & y=9+3t & z=1+t & end{matrix} ight.) và ((α) : 3x + 5y – z – 2 = 0) ;

b) d:  (left{egin{matrix} x=1+t & y=2-t & z=1+2t & end{matrix} ight.) và ((α) : x + 3y + z = 0) ;

c) d:  (left{egin{matrix} x=1+t & y=1+2t & z=2-3t & end{matrix} ight.) và ((α) : x + y + z – 4 = 0).

Giải:

a) Thay các tọa độ (x ; y ; z) trong phương trình tham số của (d) vào phương trình ((α)) ta có:

   (3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) = 0)

   ( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3).

Tức là (d  ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)).

Trong trường hợp này (d) cắt ((α)) tại điểm (M).

b) Thay các tọa độ (x ; y ; z) trong phương trình tham số của (d) vào phương trình ((α)) ta có:

     ((1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0)

     (⇔  0.t +9= 0), phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ (d) và ((α)) không cắt nhau hay (d // (α)).

c) Thay các tọa độ (x ; y ; z) trong phương trình tham số của (d) vào phương trình ((α)) ta có:

      ((1 + 1) + (1+ 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0)

      (⇔  0t + 0 = 0)

phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ (d ⊂ (α)) .