Bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12
Giải bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: ...
Giải bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Đề bài
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) ({x^3}-3{x^2} + 5 = 0);
b) (- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0) ;
c) (2{x^2}-{x^4} = - 1).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số (y=fleft( x ight)) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình (fleft( x ight)=a) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y=fleft( x ight)) với đường thẳng (y=a.)
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số: (y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5)
+) Tập xác định: (D=R.)
+) Sự biến thiên:
Ta có: (y'=3{{x}^{2}}-6xRightarrow y'=0Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ egin{align} & x=0 & x=2 end{align} ight..)
Hàm số đồng biến trên khoảng (left( infty ;0 ight)) và (left( 2;+infty ight)); hàm số nghịch biến trên khoảng (left( 0; 2 ight).)
Hàm số đạt cực đại tại (x=0; {{y}_{CD}}=5.)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=2; {{y}_{CT}}=1.)
+) Giới hạn: (underset{x o -infty }{mathop{lim }},y=-infty ; underset{x o +infty }{mathop{lim }},y=+infty .)
Bảng biến thiên:
+) Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (left( 0; 5 ight).)
Số nghiệm của phương trình ({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5) và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) (-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.)
Ta có: (PtLeftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.)
Xét hàm số: (y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.)
Tập xác định: (D=R.)
Ta có: (y'=6{{x}^{2}}-6xRightarrow y'=0Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ egin{align} & x=0 & x=1 end{align} ight..)
Hàm số đồng biến trên khoảng (left( -infty ; 0 ight)) và (left( 1;+infty ight);) nghịch biến trên khoảng (left( 0; 1 ight).)
Hàm số đạt cực đại tại (x=0; {{y}_{CD}}=0.)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1; {{y}_{CT}}=-1.)
Giới hạn: (underset{x o -infty }{mathop{lim }},y=-infty ; underset{x o +infty }{mathop{lim }},y=+infty .)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình (-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1=0) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}) và đường thẳng (y=-2.)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng (y=-2) cắt đồ thị hàm số (y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}) tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
c) (2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.)
Xét hàm số: (y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.)
Tập xác định: (D=R.)
Sự biến thiên: (y'=4x-4{{x}^{3}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0Leftrightarrow left[ egin{align}& x=0 & x=pm 1 end{align} ight..)
Hàm số đồng biến trên khoảng (left( -infty ; -1 ight)) và (left( 0; 1 ight);) hàm số nghịch biến trên khoảng (left( -1; 0 ight)) và (left( 1;+infty ight).)
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm (x=-1) và (x=1; {{y}_{CD}}=1.)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0; {{y}_{CT}}=0.)
Giới hạn: (underset{x o -infty }{mathop{lim }},=-infty ;underset{x o +infty }{mathop{lim }},=-infty .)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình (2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}) và đường thẳng (y=-1.)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng (y=-1) cắt đồ thị hàm số (y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}) tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
soanbailop6.com
