Bài 18 trang 193 bài tập SBT môn Toán Đại số 10: Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh...

Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng

a) (sin {20^0} + 2sin {40^0} – sin {100^0} = sin {40^0})

b) ({{sin ({{45}^0} + alpha ) – c{ m{os(}}{{45}^0} + alpha )} over {sin ({{45}^0} + alpha ) + c{ m{os(}}{{45}^0} + alpha )}} = an alpha )

c) ({{3{{cot }^2}{{15}^0} – 1} over {3 – c{ m{o}}{{ m{t}}^2}{{15}^0}}} =  – cot {15^0})

d) (sin {200^0}sin {310^0} + c{ m{os34}}{{ m{0}}^0}{ m{cos5}}{{ m{0}}^0}{ m{ = }}{{sqrt 3 } over 2})

Gợi ý làm bài

a) 

(eqalign{
& sin {20^0} + 2sin {40^0} – sin {100^0} cr
& = (sin {20^0} – sin {100^0}) + 2sin {40^0} cr} )

=(2cos {60^0}sin ( – {40^0}) + 2sin {40^0})

=( – sin {40^0} + 2sin {40^0} = sin {40^0})

b) 

(eqalign{
& {{sin ({{45}^0} + alpha ) – c{ m{os(}}{{45}^0} + alpha )} over {sin ({{45}^0} + alpha ) + c{ m{os(}}{{45}^0} + alpha )}} cr
& = {{sin ({{45}^0} + alpha ) – sin { m{(}}{{45}^0} – alpha )} over {sin ({{45}^0} + alpha ) + sin { m{(}}{{45}^0} – alpha )}} cr} )

=({{2cos {{45}^0}sin alpha } over {2sin {{45}^0}cos alpha }} = {{sqrt 2 sin alpha } over {sqrt 2 cos alpha }} = an alpha )

c) 

({{3{{cot }^2}{{15}^0} – 1} over {3 – c{ m{o}}{{ m{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{cot }^2}{{30}^0}{{cot }^2}{{15}^0} – 1} over {c{ m{o}}{{ m{t}}^2}{{30}^0} – {{cot }^2}{{15}^0}}})

=({{cot {{30}^0}cot {{15}^0} + 1} over {c{ m{ot}}{{30}^0} – cot {{15}^0}}}.{{cot {{30}^0}cot {{15}^0} – 1} over {c{ m{ot}}{{30}^0} + cot {{15}^0}}})

Mặt khác ta có

(cot (alpha  + eta ) = {{cos (alpha  + eta )} over {sin (alpha  + eta )}} = {{cos alpha cos eta  – sin alpha sin eta } over {sin alpha cos eta  + cos alpha sin eta }})

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho (sin alpha sin eta ) ta được

(cot (alpha  + eta ) = {{cot alpha cot eta  – 1} over {cot alpha  + cot eta }})

Tương tự

(cot (alpha  – eta ) = {{cot alpha cot eta  + 1} over {cot eta  – cot alpha }})

Do đó

(A = cot ({15^0} – {30^0})cot ({15^0} + {30^0}) =  – cot {15^0})

d) 

(sin {200^0}sin {310^0} + c{ m{os34}}{{ m{0}}^0}{ m{cos5}}{{ m{0}}^0})

= (sin ({180^0} + {20^0})sin ({360^0} – {50^0}) + c{ m{os(36}}{{ m{0}}^0}{ m{ –  2}}{{ m{0}}^0}{ m{)cos5}}{{ m{0}}^0})

( = ( – sin {20^0})( – sin {50^0}) + cos {20^0}cos {50^0})

( = cos {50^0}cos {20^0} + sin {50^0}sin {20^0})

= (cos ({50^0} – {20^0}) = {{sqrt 3 } over 2})