Bài 3.42 trang 131 sách bài tập – Hình học 12: Lập phương trình đường vuông góc chung của d và...

Cho hai đường thẳng :  (d:{{x – 1} over { – 1}} = {{y – 2} over 2} = {z over 3})  và (d’:left{ {matrix{{x = 1 + t’} cr {y = 3 – 2t’} cr {z = 1} cr} } ight.)

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Hướng dẫn làm bài:

Phương trình tham số của đường thẳng d:(left{ {matrix{{x = 1 – t} cr {y = 2 + 2t} cr {z = 3t} cr} } ight.)

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là (overrightarrow a  = ( – 1;2;3),overrightarrow {a’}  = (1; – 2;0)).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có (overrightarrow {MM’}  = (t’ + t;1 – 2t’ – 2t;1 – 3t)) .

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

(Leftrightarrow left{ {matrix{{overrightarrow {MM’} .overrightarrow a = 0} cr {overrightarrow {MM’} .overrightarrow {a’} = 0} cr} } ight.)

(Leftrightarrow left{ {matrix{{ – t’ – t + 2 – 4t’ – 4t + 3 – 9t = 0} cr {t’ + t – 2 + 4t’ + 4t = 0} cr} } ight.)

( Leftrightarrow left{ {matrix{{5t’ + 14t = 5} cr {5t’ + 5t = 2} cr} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {1 over 3}} cr {t’ = {1 over {15}}} cr} } ight.)

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là (M({2 over 3};{8 over 3};1),M'({{16} over {15}};{{43} over {15}};1))

Do đó (overrightarrow {MM’}  = ({6 over {15}};{3 over {15}};0))

Suy ra đường vuông góc chung (Delta ) của d và d’ có vecto chỉ phương (overrightarrow u  = (2;1;0))

Vậy phương trình tham số của (Delta ) là: (left{ {matrix{{x = {2 over 3} + 2t} cr {y = {8 over 3} + t} cr {z = 1} cr} } ight.)