Bài 3.38 trang 130 sách bài tập – Hình học 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng d và d' trong các...

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng (Delta ) và (Delta ‘) trong các trường hợp sau:

a)(Delta :left{ {matrix{{x = 1 + t} cr {y = – 1 – t} cr {z = 1} cr} } ight.)  và  (Delta ‘:left{ {matrix{{x = 2 – 3t’} cr {y = 2 + 3t’} cr {z = 3t’} cr} } ight.)

b)(Delta :left{ {matrix{{x = t} cr {y = 4 – t} cr {z = – 1 + 2t} cr} } ight.)  và    (Delta ‘:left{ {matrix{{x = t’} cr {y = 2 – 3t’} cr {z = – 3t’} cr} } ight.)

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi ((alpha )) là mặt phẳng chứa (Delta ) và song song với (Delta ‘). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên ((alpha )) là:   (overrightarrow a  = (1; – 1;0)) và (overrightarrow a ‘ = ( – 1;1;1)). Suy ra (overrightarrow {{n_alpha }}  = ( – 1; – 1;0))

((alpha )) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc (Delta ) và có vecto pháp tuyến: (overrightarrow {{n_{alpha ‘}}}  = (1;1;0))

Vậy phưong trình của mặt phẳng ((alpha )) có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng (Delta ‘)

      (d(Delta ,Delta ‘) = d({M_2},(alpha )) = {{|2 + 2|} over {sqrt {1 + 1} }} = 2sqrt 2 )  

b) Hai đường thẳng (Delta ) và (Delta ‘) có phương trình là:

(Delta :left{ {matrix{{x = t} cr {y = 4 – t} cr {z = – 1 + 2t} cr} } ight.)     và (Delta ‘:left{ {matrix{{x = t’} cr {y = 2 – 3t’} cr {z = – 3t’} cr} } ight.)

Phương trình mặt phẳng ((alpha )) chứa (Delta ) và song song với (Delta ‘) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên (Delta ‘) .

Ta có (d(Delta ,Delta ‘) = d(M’,(alpha )) = {{|5.(2) – 22|} over {sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} over {sqrt {110} }})

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng (Delta ) và  (Delta ‘)  là ({{12} over {sqrt {110} }}).