Bài 3.40 trang 130 sách bài tập – Hình học 12: Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng...

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng (Delta :{{x – 1} over 2} = {{y + 1} over { – 1}} = {z over 2})

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng (Delta );

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (Delta ) .

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của (Delta :left{ {matrix{{x = 1 + 2t} cr {y = – 1 – t} cr {z = 2t} cr} } ight.)

Xét điểm (H(1 + 2t; – 1 – t;2t) in Delta )

Ta có (overrightarrow {MH}  = (2t – 1; – t;2t – 1))

     (overrightarrow {{a_Delta }}  = (2; – 1;2))

H là hình chiếu vuông góc của M trên (Delta Leftrightarrow  overrightarrow {MH} .overrightarrow {{a_Delta }}  = 0)

(Leftrightarrow 2(2t – 1) + t + 2(2t – 1) = 0 Leftrightarrow t = {4 over 9})

Ta suy ra tọa độ điểm (H({{17} over 9};{{ – 13} over 9};{8 over 9}))

b) H là trung điểm của MM’, suy ra x_M’ + x_M = 2x_H

Suy ra ({x_{M’}} = 2{x_H} – {x_M} = {{34} over 9} – 2 = {{16} over 9})

Tương tự, ta được ({y_{M’}} = 2{y_H} – {y_M} = {{ – 26} over 9} + 1 = {{ – 17} over 9};)

({z_{M’}} = 2{z_H} – {z_M} = {{16} over 9} – 1 = {7 over 9})

Vậy  (M'({{16} over 9};{{ – 17} over 9};{7 over 9}))