Bài 3.30 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba...

Lập phương trình của mặt phẳng ((alpha )) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi giao điểm của ((alpha ))  với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng ((alpha ))  có phương trình theo đoạn chắn là: ({x over a} + {y over b} + {z over c} = 1)            (1)

Do ((alpha ))   đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): ({1 over a} + {2 over b} + {3 over c} = 1)

Thể tích của tứ diện OABC là  (V = {1 over 3}B.h = {1 over 3}.{1 over 2}OA.OB.OC = {1 over 6}abc)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  (1 = {1 over a} + {2 over b} + {3 over c} ge 3 oot 3 of {{6 over {abc}}} Rightarrow  1 ge {{27.6} over {abc}})

(Rightarrow abc ge 27.6 Rightarrow V ge 27)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất ( Leftrightarrow  V = 27 Leftrightarrow  {1 over a} = {2 over b} = {3 over c} = {1 over 3} Leftrightarrow  left{ {matrix{{a = 3} cr {b = 6} cr {c = 9} cr} } ight.)

Vậy phương trình mặt phẳng ((alpha )) thỏa mãn đề bài là:

({x over 3} + {y over 6} + {z over 9} = 1)  hay  6x + 3y + 2z – 18 = 0