Bài 3.36 trang 160 Sách BT Toán Hình Học 10 : Cho elip (E)...

Cho elip (E) : (4{x^2} + 9{y^2} = 36) và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Gợi ý làm bài

(E): (4{x^2} + 9{y^2} = 36,(1))

Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của 

d:y – 1 = k(x – 1) hay y = k(x – 1) + 1 (2)

Thay (2) vào (1) ta được

(4x + 9{left[ {k(x – 1) + 1} ight]^2} = 36)

( Leftrightarrow left( {9{k^2} + 4} ight){x^2} + 18kleft( {1 – k} ight)x + 9{left( {1 – k} ight)^2} – 36 = 0,(3))

Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn

MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm ({x_A}), ({x_B}) sao cho:

({{{x_A} + {x_B}} over 2} = {x_M} Leftrightarrow {{ – 18k(1 – k)} over {2(9{k^2} + 4)}} = 1)

( Leftrightarrow 18{k^2} – 18k = 18{k^2} + 8 Leftrightarrow k =  – {4 over 9})

Vậy phương trình của d là : 

(y =  – {4 over 9}left( {x – 1} ight) + 1) hay 4x + 9y – 13 = 0.