Bài 3.27 trang 152 Sách BT Toán Hình học 10: Cho hai đường tròn (C1)...

Cho hai đường tròn (C1) : ({x^2} + {y^2} – 6x + 5 = 0)

và     (C2) : ({x^2} + {y^2} – 12x – 6y + 44 = 0)

a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2)  .

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2). 

Gợi ý làm bài

a) (C 1) có tâm có bán kính ({R_1} = 2);

    (C 2) có tâm có bán kính ({R_2} = 1).

b) Xét đường thẳng (Delta ) có phương trình:

(y = kx + m) hay (kx – y + m = 0). Ta có:

(Delta) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

(left{ matrix{
d({I_1},Delta ) = {R_1} hfill cr
d({I_2},Delta ) = {R_2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{{left| {3k + m} ight|} over {sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) hfill cr
{{left| {6k – 3 + m} ight|} over {sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) hfill cr} ight.)

Từ (1) và (2) suy ra

(left| {3k + m} ight| = 2left| {6k – 3 + m} ight|)

Trường hợp 1: (3k + m = 2(6k – 3 + m) Leftrightarrow m = 6 – 9k) (3)

Thay vào (2) ta được

(left| {6k – 3 + 6 – 9k} ight| = sqrt {{k^2} + 1}  Leftrightarrow left| {3 – 3k} ight| = sqrt {{k^2} + 1} )

( Leftrightarrow 9 – 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1)

( Leftrightarrow 8{k^2} – 18k + 8 = 0)

(Leftrightarrow 4{k^2} – 9k + 4 = 0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
{k_1} = {{9 + sqrt {17} } over 8} hfill cr
{k_2} = {{9 – sqrt {17} } over 8} hfill cr} ight.)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

(left[ matrix{
{k_1} = 6 – 9{k_1} hfill cr
{k_2} = 6 – 9{k_2} hfill cr} ight.)

Vậy ta được hai tiếp tuyến

({Delta _1}:y = {k_1}x + 6 – 9{k_1};)

({Delta _2}:y = {k_2}x + 6 – 9{k_2}.)

Trường hợp 2: 

(eqalign{
& 3k + m = – 2(6k – 3 + m) cr
& Leftrightarrow 3m = 6 – 15k cr} )

( Leftrightarrow m = 2 – 5k) (4)

Thay vào (2) ta được

(left| {6k – 3 + 2 – 5k} ight| = sqrt {{k^2} + 1}  Leftrightarrow left| {k – 1} ight| = sqrt {{k^2} + 1} )

( Leftrightarrow {(k – 1)^2} = {k^2} + 1)

(Leftrightarrow {k^2} – 2k + 1 = {k^2} + 1)

( Leftrightarrow k = 0.)

Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

Vậy ta được tiếp tuyến

({Delta _3}:y = 2.)

Xét đường thẳng ({Delta _4}) vuông góc với Ox tại ({x_0}):

({Delta _4}:x – {x_0} = 0.)

({Delta _4}) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

(eqalign{
& left{ matrix{
d({I_1},{Delta _4}) = {R_1} hfill cr
d({I_2},{Delta _4}) = {R_2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
left| {3 – {x_0}} ight| = 2 hfill cr
left| {6 – {x_0}} ight| = 1 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
{x_0} = 1 vee {x_0} = 5 hfill cr
{x_0} = 5 vee {x_0} = 7 hfill cr} ight. Leftrightarrow {x_0} = 5. cr} )

Vậy ta được tiếp tuyến: ({Delta _4}:x – 5 = 0)

Tóm lại hai đường tròn (C 1)  và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung ({Delta _1}), ({Delta _2}), ({Delta _3}) và ({Delta _4})