Bài 3.25 trang 152 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho đường tròn (C) :...

Cho đường tròn (C) : ({(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9) và điểm M(2;-1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến ({Delta _1}) và ({Delta _2}) với (C), hãy viết phương trình của ({Delta _1}) và ({Delta _2}).

b) Gọi ({M_1}) và ({M_2}) lần lượt là hai tiếp điểm của  ({Delta _1}) và ({Delta _2}) với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua ({M_1}) và ({M_2})

Gợi ý làm bài

a) (C) có tâm I(-1;2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng  đi qua M(2;-1) và có hệ số góc k có phương trình: 

(y + 1 = kleft( {x – 2} ight) Leftrightarrow kx – y – 2k – 1 = 0)

Ta có: (Delta ) tiếp xúc với (C)  ( Leftrightarrow d(I;Delta ) = R)

( Leftrightarrow {{left| { – k – 2 – 2k – 1} ight|} over {sqrt {{k^2} + 1} }} = 3)

(Leftrightarrow left| {k + 1} ight| = sqrt {{k^2} + 1} )

(Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1)

( Leftrightarrow k = 0.)

Vậy ta được tiếp tuyến ({Delta _1}:y + 1 = 0.)

Xét đường thẳng ({Delta _2}) đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, ({Delta _2}) có phương trình x – 2 = 0. Ta có:

(dleft( {I;{Delta _2}} ight) = left| { – 1 – 2} ight| = 3 = R)

Suy ra ({Delta _2}) tiếp xúc với (C) . 

Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với  (C), đó là: 

({Delta _1}:y + 1 = 0) và ({Delta _2}:x – 2 = 0)

b) ({Delta _1}) tiếp xúc với (C)  tại ({M_1}left( { – 1; – 1} ight))

({Delta _2}) tiếp xúc với (C)  tại ({M_2}left( {2;2} ight))

Phương trình của đường thẳng d đi qua ({M_1}) và ({M_2}) là: x – y = 0.