Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập Toán Hình Học 10 : Viết phương trình chính tắc của elip (E)...

Viết phương trình chính tắc của elip (E) ({F_1}) và ({F_2}) biết:

a) (E) đi qua hai điểm (Mleft( {4;{9 over 5}} ight)) và (Nleft( {3;{{12} over 5}} ight));

b) (E) đi qua (Mleft( {{3 over {sqrt 5 }};{4 over {sqrt 5 }}} ight)) và tam giác (M{F_1}{F_2}) vuông tại M. 

Gợi ý làm bài

a) Xét elip (E): ({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1)

(E) đi qua (Mleft( {4;{9 over 5}} ight)) và (Nleft( {3;{{12} over 5}} ight)) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:

(left{ matrix{
{{16} over {{a^2}}} + {{81} over {25{b^2}}} = 1 hfill cr
{9 over {{a^2}}} + {{144} over {25{b^2}}} = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{a^2} = 25 hfill cr
{b^2} = 9. hfill cr} ight.)

Vậy phương trình của (E) là : ({{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1)

b) xét elip (E) : ({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1)

Vì (Mleft( {{3 over {sqrt 5 }};{4 over {sqrt 5 }}} ight) in (E)) nên ({9 over {5{a^2}}} + {{16} over {5{b^2}}} = 1,,,,,(1))

Ta có : (widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ circ } Rightarrow OM = O{F_1})

( Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 over 5} + {{16} over 5} = 5)

và: ({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5)

Thay vào (1) ta được : 

(eqalign{
& {9 over {5left( {{b^2} + 5} ight)}} + {{16} over {5{b^2}}} = 1 cr
& Leftrightarrow 9{b^2} + 16left( {{b^2} + 5} ight) = 5{b^2}({b^2} + 5) cr} )

( Leftrightarrow {b^4} = 14)

( Leftrightarrow {b^2} = 4)

Suy ra ({a^2} = 9)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là 

({{{x^2}} over 9} + {{{y^2}} over 4} = 1)