Bài 25 trang 77 SBT Toán Đại số 10: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số...

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

a) (|2x – 5m| = 2x – 3m)

b) (|3x + 4m| = |4x – 7m|)

c) $((m + 1){x^2} + (2m – 3)x + m + 2 = 0)

d) ({{{x^2} – (m + 1)x – {{21} over 4}} over {x – 3}} = 2x + m)

Gợi ý làm bài

a) Với (x ge {{5m} over 2}) phương trình đã cho trở thành

(2x – 5m = 2x – 3m Leftrightarrow 2m = 0 Leftrightarrow m = 0)

Vậy với m = 0 thì mọi (x ge 0) đều là nghiệm của phương trình.

Với (x < {{5m} over 2}) phương trình đã cho trở thành

( – 2x + 5m = 2x – 3m)

( Leftrightarrow 4x = 8m Leftrightarrow x = 2m)

Vì $(x < {{5m} over 2}) nên (2m < {{5m} over 2} Leftrightarrow m > 0).

Kết luận:

Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.

Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

b) Ta có:

(eqalign{
& |3x + 4m| = |4x – 7m| cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x + 4m = 4x – 7m hfill cr
3x + 4m = – 4x + 7m hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = 11m hfill cr
x = {{3m} over 7} hfill cr} ight. cr} )

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và $(x = {{3m} over 7}) với mọi giá trị của m.

c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành

( – 5x + 1 = 0 Leftrightarrow x = {1 over 5}$)

Với (m e  – 1) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức (Delta  =  – 24m + 1.)

Nếu (m le {1 over {24}}) thì (Delta  ge 0) phương trình có hai nghiệm

({x_{1,2}} = {{2m – 3 pm sqrt {1 – 24m} } over {2(m + 1)}})

Kết luận:

Với (x > {1 over {24}}) phương trình vô nghiệm.

Với (x le {1 over {24}}) và (m e  – 1) phương trình có hai nghiệm.

({x_{1,2}} = {{2m – 3 pm sqrt {1 – 24m} } over {2(m + 1)}})

Với m = -1 phương trình có nghiệm là (x = {1 over 5})

d) Điều kiện của phương trình là: (x e 3.) Ta có:

({{{x^2} – (m + 1)x – {{21} over 4}} over {x – 3}} = 2x + m =  > {x^2} – (m + 1)x – {{21} over 4} = (x – 3)(2x + m))

( Leftrightarrow {x^2} + (2m – 5)x + {{21} over 4} – 3m = 0)

Phương trình cuối luôn có nghiệm ({x_1} = {3 over 2},{x_2} = {{7 – 4m} over 2})

Ta có: ({{7 – 4m} over 2} e 3 Leftrightarrow m e {1 over 4})

Kết luận

Với (m e {1 over 4}) phương trình đã cho có hai nghiệm và (x = {3 over 2}) và (x = {{7 – 4m} over 2})

Với (m = {1 over 4}) phương trình có một nghiệm (x = {3 over 2})