Bài 21 trang 77 bài tập SBT môn Toán Đại số 10: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số...

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) (2m(x – 2) + 4 = (3 – {m^2})x)

b) ({{(m + 3)x} over {2x – 1}} = 3m + 2)

c) ({{8mx} over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1)

d) ({{(2 – m)x} over {x – 2}} = (m – 1)x – 1)

Gợi ý làm bài 

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình 

((m – 1)(m + 3)x = 4(m – 1))

Với (m e 1) và (m e  – 3) phương trình có nghiệm (x = {4 over {m + 3}});

Với m = 1 mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;

Với m = -3 phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện của phương trình là (m e {1 over 2}). Khi đó ta có

({{(m + 3)x} over {2x – 1}} = 3m + 2 Leftrightarrow (m + 2)x = (3m + 2)(2x – 1))

( Leftrightarrow (5m + 1)x = 3m + 2)

Nếu $(m e  – {1 over 5}) thì phương trình có nghiệm (x = {{3m + 2} over {5m + 1}})

Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi

({{3m + 2} over {5m + 1}} e {1 over 2} Leftrightarrow 6m + 4 e 5m + 1 Leftrightarrow m e  – 3)

Nếu (m =  – {1 over 5}) phương trình cuối vô nghiệm.

Kết luận.

Với (m =  – {1 over 5}) hoặc (m =  – 3) phương trình đã cho vô nghiệm.

Với (m e  – {1 over 5}) và (m e  – 3) nghiệm của phương trình đã cho là (x = {{3m + 2} over {5m + 1}})

c) Điều kiện của phương trình là (x e  – 3). Khi đó ta có

({{8mx} over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1 Leftrightarrow 8mx = { m{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3))

( Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)) (1)

Với (m =  – {1 over 4}) phương trình (1) trở thành

(3x + 3 = 0 Leftrightarrow x =  – 1)

Với (m e  – {1 over 4}) phương trình (1) là một phương trình bậc hai có

(Delta ‘ = {(2m – 1)^2} ge 0)

Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm

({x_1} =  – {3 over {4m + 1}},{x_2} =  – 1)

Ta có ( – {3 over {4m + 1}} e  – 3 Leftrightarrow 4m + 1 e 1 Leftrightarrow m e 0)

Kết luận

Với m = 0 hoặc (m =  – {1 over 4}) phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.

Với (m e 0) và (m e  – {1 over 4}) phương trình đã cho có hai nghiệm

x = -1 và (x =  – {3 over {4m + 1}})

d) Điều kiện của phương trình là (x e 2). Khi đó ta có

({{(2 – m)x} over {x – 2}} = (m – 1)x – 1 Leftrightarrow (2 – m)x = (x – 2){ m{[}}(m – 1)x – 1])

( Leftrightarrow (m – 1){x^2} – (m + 1)x + 2 = 0(2))

Với m = 1 phương trình (2) có dạng

( – 2x + 2 = 0 Leftrightarrow x = 1)

Với (m e 1) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :

(Delta  = {(m – 3)^2} ge 0)

Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm

({x_1} = 1,{x_2} = {2 over {m – 1}})

Ta có: ({2 over {m – 1}} e 2 Leftrightarrow m – 1 e 1 Leftrightarrow m e 2)

Kết luận :

Với m = 1 và m = 2 phương trình đã cho có một nghiệm là x = 1.

Với (m e 1) và (m e 2) phương trình đã cho có hai nghiệm 

x = 1 và (x = {2 over {m – 1}})