Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính các tích phân sau :

Bài 25. Tính các tích phân sau :

a) (intlimits_0^{{pi  over 4}} {xcos 2xdx;} )         b) (intlimits_0^1 {{{ln left( {2 - x} ight)} over {2 - x}}} dx;)       

c) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}cos xdx;} )

(d),intlimits_0^1 {{x^2}sqrt {{x^3} + 1} dx;} )        (e),intlimits_1^e {{x^2}ln xdx.} )   

Giải

a) Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = cos 2xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {1 over 2}sin 2x hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_0^{{pi  over 4}} {xcos 2xdx = left. {{1 over 2}xsin 2x} ight|_0^{{pi  over 4}}}  - {1 over 2}intlimits_0^{{pi  over 4}} {sin 2xdx} ) 

( = {pi  over 8} + left. {{1 over 4}cos 2x} ight|_0^{{pi  over 4}} = {pi  over 8} + {1 over 4}left( { - 1} ight) = {pi  over 8} - {1 over 4}.)                                 

b) Đặt (u = ln left( {2 - x} ight) Rightarrow du = {{ - 1} over {2 - x}}dx)

(intlimits_0^1 {{{ln left( {2 - x} ight)} over {2 - x}}} dx =  - intlimits_{ln 2}^0 {udu}  = intlimits_0^{ln 2} {udu}  = left. {{{{u^2}} over 2}} ight|_0^{ln 2} = {1 over 2}{left( {ln 2} ight)^2})

c) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Do đó (I = intlimits_0^{{pi  over 2}} {{x^2}cos xdx = {x^2}} left. {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} ight|_0^{{pi  over 2}} - 2intlimits_0^{{pi  over 2}} {xsin xdx = {{{pi ^2}} over 4}}  - 2{I_1})

Với ({I_1} = intlimits_0^{{pi  over 2}} {xsin xdx} )

Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = sin { m{x}}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = - cos x hfill cr} ight.)

Do đó ({I_1} =  - xleft. {cos x} ight|_0^{{pi  over 2}} + intlimits_0^{{pi  over 2}} {cos xdx = left. {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} ight|_0^{{pi  over 2}}}  = 1)

Vậy (I = {{{pi ^2}} over 4} - 2)

d) Đặt (u = sqrt {{x^3} + 1}  Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx Rightarrow {x^2}dx = {2 over 3}udu)

(intlimits_0^1 {{x^2}sqrt {{x^3} + 1} dx}  = {2 over 3}intlimits_1^{sqrt 2 } {{u^2}du = left. {{{2{u^3}} over 9}} ight|} _1^{sqrt 2 } = {2 over 9}left( {2sqrt 2  - 1} ight))

e) Đặt 

(left{ matrix{
u = ln x hfill cr
dv = {x^2}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {{dx} over x} hfill cr
v = {{{x^3}} over 3} hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_1^e {{x^2}ln xdx = left. {{{{x^3}} over 3}ln x} ight|} _1^e - {1 over 3}intlimits_1^e {{x^2}dx = {{{e^3}} over 3} - left. {{1 over 9}{x^3}} ight|} _1^e = {{2{e^3} + 1} over 9})

soanbailop6.com