Bài 23 trang 218 Sách bài tập Toán Đại số 10: Chứng minh rằng...

Chứng minh rằng

a) ({{1 – cos 2a + sin 2a} over {1 + cos 2a + sin 2a}} = an a)

b) ({{cot a + {mathop{ m tana} olimits} } over {1 + an 2 an a}} = 2cot 2a)

c) ({{sqrt 2  – {mathop{ m sina} olimits}  – cos a} over {sin a – cos a}} =  – an left( {{a over 2} – {pi  over 8}} ight))

d) (cos 2a – cos 3a – cos 4a + cos 5a =  – 4sin {a over 2}sin acos {{7a} over 2})

Gợi ý làm bài

a)

(eqalign{
& {{1 – cos 2a + sin 2a} over {1 + cos 2a + sin 2a}} cr
& = {{2{{sin }^2}a + 2sin acos a} over {1 + 2{{cos }^2}a – 1 + 2sin acos a}} cr} )

( = {{2sin a(sin a + {mathop{ m cosa} olimits} )} over {2cos a(sin a + cos a)}} = an a)

b) ({{cot a + an a} over {1 + an 2a an a}} = {{{1 over { an a}} + an a} over {1 + {{2tana} over {1 – {{ an }^2}a}}}})

( = {{1 + {{ an }^2}a} over { an a}}:{{1 – {{ an }^2}a + 2{{ an }^2}a} over {1 – {{ an }^2}a}})

( = {{1 – {{ an }^2}a} over { an a}} = 2cot 2a)

c) ({{sqrt 2  – sin a – cos a} over {sin a – cos a}} = {{sqrt 2  – sqrt 2 sin(a + {pi  over 4})} over {sqrt 2 sin(a – {pi  over 4})}})

( = {{1 – sin (a + {pi  over 4})} over {sin(a – {pi  over 4})}} = {{sin{pi  over 2} – sin(a + {pi  over 4})} over {sin(a – {pi  over 4})}})

(eqalign{
& = {{cos left( {{a over 2} + {{3pi } over 8}} ight)sinleft( {{pi over 8} – {a over 2}} ight)} over {2sinleft( {{a over 2} – {pi over 8}} ight)cos left( {{a over 2} – {pi over 8}} ight)}} cr
& = {{sinleft( { – {a over 2} + {pi over 8}} ight)sinleft( {{pi over 8} – {a over 2}} ight)} over {sinleft( {{a over 2} – {pi over 8}} ight)sinleft( {{a over 2} – {pi over 8}} ight)}} cr} )

( = {{ – sinleft( {{a over 2} – {pi  over 8}} ight)} over {cos left( {{a over 2} – {pi  over 8}} ight)}} =  – an left( {{a over 2} – {pi  over 8}} ight))

d) 

(eqalign{
& cos 2a – cos 3a – cos 4a + cos 5a cr
& = (cos 2a – cos 4a) + (cos 5a – cos 3a) cr} )

(eqalign{
& = – 2sin 3asin ( – a) – 2sin 4asin a cr
& = 2sin a(sin 3a – sin 4a) cr} )

(eqalign{
& = 4sin acos {{7a} over 2}sin left( { – {a over 2}} ight) cr
& = – 4sin {a over 2}sin acos {{7a} over 2} cr} )