Bài 20 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : ({x^2} + {y^2} + 10x = 4) và (C2) :  ({x^2} + {y^2} – 4x – 2y – 20 = 0) có tâm lần lượt là I, J.

a) Viết phương trình đường tròn (C)  đi qua giao điểm của (C1) , (C2)  và có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y + 6 = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Gọi ({T_1},{T_2}) lần lượt là tiếp điểm của (C1) , (C2) với một tiếp tuyến chung, hãy viết phương trình đường thẳng (Delta ) qua trung điểm của ({T_1},{T_2}) và vuông góc với IJ.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.43)

a) (C1) có tâm I(-5 ; 0), bán kính ({R_1} = 5). (C2) có tâm I(2 ; 1), bán kính ({R_2} = 5)

Tọa độ của giao điểm A, B của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ matrix{
{x^2} + {y^2} + 10x = 0 hfill cr
{x^2} + {y^2} – 4x – 2y – 20 = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
14x + 2y + 20 = 0 hfill cr
{x^2} + {y^2} + 10x = 0 hfill cr} ight. cr} )

Ta được A(-1 ; -3), B(-2 ; 4).

Gọi K là tâm của (C) ta có (KA = KB = R Rightarrow K in IJ.)

Phương trình IJ là : x – 7y + 5 = 0.

Tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
x – 7y + 5 = 0 hfill cr
x – 6y + 6 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 12 hfill cr
y = – 1 hfill cr} ight.)

Vậy K(-12 ; -1). Ta có ({R^2} = K{A^2} = 125.)

Vậy phương trình của đường tròn (C) là : ({left( {x + 12} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} = 125.)

b) ({R_1} = {R_2} = 5)

=> tiếp tuyến chung (l) của (C1) và (C2) song song với IJ. Phương trình (l) có dạng : 

x – 7y + c = 0.

Ta có: (d(I,l) = {R_1})

(eqalign{
& Leftrightarrow {{left| { – 5 + c} ight|} over {sqrt {1 + 49} }} = 5 cr
& Leftrightarrow left| {c – 5} ight| = 25sqrt 2 cr
& Leftrightarrow c = 5 pm 25sqrt 2 . cr} )

Vậy phương trình của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) là : 

(x – 7y + 5 pm 25sqrt 2  = 0.)

Đường thẳng AB đi qua trung điểm M của ({T_1}{T_2}) và vuông góc với IJ.

Phương trình của AB là : 7x + y + 10 = 0.