Bài 20 trang 194 Sách BT Toán Đại số 10: Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính...

Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính

a) ({sin ^4}{pi  over {16}} + {sin ^4}{{3pi } over {16}} + {sin ^4}{{5pi } over {16}} + {sin ^4}{{7pi } over {16}})

b) (cot 7,{5^0} + an 67,{5^0} – an 7,{5^0} – cot 67,{5^0})

Gợi ý làm bài

a) ({sin ^4}{pi  over {16}} + {sin ^4}{{3pi } over {16}} + {sin ^4}{{5pi } over {16}} + {sin ^4}{{7pi } over {16}})

( = {left( {{{1 – cos {pi  over 8}} over 2}} ight)^2} + {left( {{{1 – cos {{3pi } over 8}} over 2}} ight)^2} + {left( {{{1 – cos {{5pi } over 8}} over 2}} ight)^2} + {left( {{{1 – cos {{7pi } over 8}} over 2}} ight)^2})

( = {1 over 4}left( {1 – 2cos {pi  over 8} + {{cos }^2}{pi  over 8} + 1 – 2cos {{3pi } over 8} + {{cos }^2}{{3pi } over 8} + 1 – 2cos {{5pi } over 8} + {{cos }^2}{{5pi } over 8} + 1 – 2cos {{7pi } over 8} + {{cos }^2}{{7pi } over 8}} ight))

( = 1 – {1 over 2}left( {cos {pi  over 8} + cos {{3pi } over 8} + cos {{5pi } over 8} + cos {{7pi } over 8}} ight) + {1 over 4}left( {{{1 + cos {pi  over 4}} over 2} + {{1 + cos {{3pi } over 4}} over 2} + {{1 + cos {{5pi } over 4}} over 2} + {{1 + cos {{7pi } over 4}} over 2}} ight)$)

=(1 – {1 over 2}left( {cos {pi  over 8} + cos {{3pi } over 8} – cos {{3pi } over 8} – cos {pi  over 8}} ight) + {1 over 8}left( {4 + {{sqrt 2 } over 2} – {{sqrt 2 } over 2} – {{sqrt 2 } over 2} + {{sqrt 2 } over 2}} ight))

= ({3 over 2})

b) (cot 7,{5^0} + an 67,{5^0} – an 7,{5^0} – cot 67,{5^0})

= ({{cos 7,{5^0}} over {sin 7,{5^0}}} – {{sin 7,{5^0}} over {cos 7,{5^0}}} + {{sin 67,{5^0}} over {cos 67,{5^0}}} – {{cos 67,{5^0}} over {sin 67,{5^0}}})

= ({{{{cos }^2}7,{5^0} – {{sin }^2}7,{5^0}} over {sin 7,{5^0}cos 7,{5^0}}} + {{{{sin }^2}67,{5^0} – {{cos }^2}67,{5^0}} over {sin67,{5^0}cos 67,{5^0}}})

= (eqalign{
& {{cos {{15}^0}} over {{1 over 2}sin {{15}^0}}} – {{cos {{135}^0}} over {{1 over 2}sin {{135}^0}}} cr
& = {{2(sin {{135}^0}cos {{15}^0} – cos {{135}^0}sin {{15}^0})} over {sin {{15}^0}sin {{135}^0}}} cr} )

= ({{sin ({{135}^0} – {{15}^0})} over {sin ({{45}^0} – {{30}^0})sin ({{180}^0} – {{45}^0})}})

= ({{2sin {{120}^0}} over {(sin {{45}^0}cos {{30}^0} – cos {{45}^0}sin {{30}^0})sin{{45}^0}}})

(eqalign{
& = {{sqrt 3 } over {{{sqrt 2 } over 2}({{sqrt 3 } over 2} – {1 over 2}).{{sqrt 2 } over 2}}} cr
& = {{4sqrt 3 } over {sqrt 3 – 1}} = 6 + 2sqrt 3 cr} $)