Bài 19 trang 194 Sách bài tập Toán Đại số 10: Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc...

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc (alpha ,eta )

a) (sin 6alpha cot 3alpha  – c{ m{os6}}alpha )

b) ({{ m{[}} an ({90^0} – alpha ) – cot ({90^0} + alpha ){ m{]}}^2} – {{ m{[}}c{ m{ot(18}}{{ m{0}}^0} + alpha ) + cot ({270^0} + alpha ){ m{]}}^2})

c) (( an alpha  – an eta )cot(alpha  – eta ) – an alpha an eta )

d) ((cot {alpha  over 3} – an {alpha  over 3}) an {{2alpha } over 3})

Gợi ý làm bài

a) 

(eqalign{
& sin 6alpha cot 3alpha – c{ m{os6}}alpha cr
& = 2sin 3alpha cos 3alpha .{{cos 3alpha } over {sin 3alpha }} – (2{cos ^2}3alpha – 1) cr} )

= (2{cos ^2}3alpha  – 2{cos ^2}3alpha  + 1 = 1)

b) 

({{ m{[}} an ({90^0} – alpha ) – cot ({90^0} + alpha ){ m{]}}^2} – {{ m{[}}c{ m{ot(18}}{{ m{0}}^0} + alpha ) + cot ({270^0} + alpha ){ m{]}}^2})

= ({(cot alpha  + an alpha )^2} – {(cot alpha  – an alpha )^2})

= ({cot ^2}alpha  + 2 + { an ^2}alpha  – {cot ^2}alpha  + 2 – { an ^2}alpha  = 4)

c)

(eqalign{
& ( an alpha – an eta )cot(alpha – eta ) – an alpha an eta cr
& = {{ an alpha – an eta } over { an (alpha – eta )}} – an alpha an eta cr} )

=(1 + an alpha an eta  – an alpha an eta  = 1)

d) 

(eqalign{
& (cot {alpha over 3} – an {alpha over 3}) an {{2alpha } over 3} cr
& = ({{cos {alpha over 3}} over {sin {alpha over 3}}} – {{sin {alpha over 3}} over {cos {alpha over 3}}}){{sin {{2alpha } over 3}} over {cos {{2alpha } over 3}}} cr} )

= (eqalign{
& {{{{cos }^2}{alpha over 3} – {{sin }^2}{alpha over 3}} over {sin {alpha over 3}cos {alpha over 3}}}.{{sin {{2alpha } over 3}} over {cos {{2alpha } over 3}}} cr
& = {{cos {{2alpha } over 3}} over {{1 over 2}sin {{2alpha } over 3}}}.{{sin {{2alpha } over 3}} over {cos {{2alpha } over 3}}} = 2 cr} )