Bài 2 trang 132 sgk đại số 11: Bài 2. Giới hạn của hàm số....

Bài 2. Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{
sqrt x + 1 ext{ nếu   }xge 0 hfill cr
2x ext{ nếu   }x < 0 hfill cr} ight.)

Và các dãy số ((u_n)) với (u_n= frac{1}{n}), ((v_n)) với (v_n= -frac{1}{n}).

Tính (lim u_n), (lim v_n), (lim f (u_n)) và (lim (v_n)).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi (x → 0) ?

Hướng dẫn  giải:

Ta có (lim u_n)= (lim frac{1}{n}= 0); (lim v_n= lim (-frac{1}{n}) = 0).

Do (u_n=frac{1}{n} > 0) và (v_n= -frac{1}{n} < 0) với (∀ nin {mathbb N}^*)

, nên (f(u_n)= sqrt{frac{1}{n}}+1) và (f(v_n) = -frac{2}{n}).

Từ đó ( lim f(u_n)= lim (sqrt{frac{1}{n}}+ 1) = 1); (lim f(v_n)= lim (-frac{2}{n}) = 0).

Vì (u_n→ 0) và (v_n → 0), nhưng (lim f(u_n) ≠  lim f(v_n)) nên hàm số (y = f(x)) không có giới hạn khi
(x → 0).