Bài 11 trang 114 sgk Hình học 11: Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc...

Bài 11. Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là một hình thoi tâm (I) cạnh (a) và có góc (A) bằng (60^{0},) cạnh (SC=frac{asqrt{6}}{2}) và (SC) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD)).

a) Chứng minh mặt phẳng ((SBD)) vuông góc với mặt phẳng ((SAC)). 

b) Trong tam giác (SCA) kẻ (IK) vuông góc với mặt phẳng ((SAC)). Hãy tính độ dài (IK)

c) Chứng minh (widehat{BKD}=90^{0}) và từ đó suy ra mặt phẳng ((SAB)) vuông góc với mặt phẳng ((SAD)).

Giải

(H.3.50) 

a) (SC) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD)) suy ra (SCot BD)         (1)

(ABCD) là hình thoi nên (ACot BD)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BD ⊥ (SAC))

(BDsubset (SBD)Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)).

b) Xét tam giác vuông (ABI) có: (AI=AB.cos 30^0={{asqrt 3 } over 2}Rightarrow AC = 2AI = asqrt 3 )

 Xét tam giác vuông (SAC) có: (SA=sqrt {A{C^2} + S{C^2}}  = sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} over 4}} =frac{3a}{sqrt{2}}.) 

Hai tam giác vuông (SCA) và (IKA) đồng dạng (g.g) nên (frac{IK}{SC}=frac{AI}{AS}Rightarrow IK=frac{AI.SC}{AS}=frac{a}{2}.)

c) (IK = IB = ID = frac{a}{2}) nên tam giác (BKD) vuông tại (K). Vậy (widehat{BKD}=90^{0}.)

(SA) cùng vuông góc với (BD) và (IK) nên (SA ⊥ (DKB)); (DK) và (BK) cùng vuông góc với (SA). Vậy góc (widehat {BKD}) là góc giữa ((SAD)) và ((SAB)) và (widehat{BKD}=90^{0}) (Rightarrow  (SAD) ⊥ (SAB)).