Bài 2.59 trang 105 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC có...

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với (b e c)) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: ({k^2} = bc – de)

Gợi ý làm bài

Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên (widehat {BAD} = widehat {DAC})

( Rightarrow cos widehat {BAD} = coswidehat {DAC})

(eqalign{
& Rightarrow {{A{B^2} + A{D^2} – B{D^2}} over {2AB.AD}} = {{A{C^2} + A{D^2} – C{D^2}} over {2AC.AD}} cr
& Rightarrow {{{c^2} + {k^2} – {d^2}} over {2c.k}} = {{{b^2} + {k^2} – {e^2}} over {2b.k}} cr
& Rightarrow bleft( {{c^2} + {k^2} – {d^2}} ight) = cleft( {{b^2} + {k^2} – {e^2}} ight)(*) cr} )

Vì AD là phân giác trong góc A của tam ABC nên ({{DB} over {DC}} = {{AB} over {AC}})

( Rightarrow bd = ce$), từ (*) ta suy ra (left( {b – c} ight)left( { – {k^2} + bc – be} ight) = 0)

( Rightarrow {k^2} = bc – de) (vì (b e c)) (điều phải chứng minh)