Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:...

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) (intlimits_1^2 {{x^5}} ln xdx;)               b) (intlimits_0^1 {left( {x + 1} ight)} {e^x}dx;)       

c) (intlimits_0^pi  {{e^x}} cos xdx;)         d) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos xdx.} )

Giải

a) Đặt 

(left{ matrix{
u = ln x hfill cr
dv = {x^5}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {{dx} over x} hfill cr
v = {{{x^6}} over 6} hfill cr} ight.)

 (intlimits_1^2 {{x^5}} ln xdx = left. {{{{x^6}} over 6}ln x} ight|_1^2 – {1 over 6}intlimits_1^2 {{x^5}} dx = left. {left( {{{{x^6}} over 6}ln x – {{{x^6}} over {36}}} ight)} ight|_1^2 = {{32} over 3}ln 2 – {7 over 4})

b) Đặt 

(left{ matrix{
u = x + 1 hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

(intlimits_0^1 {left( {x + 1} ight)} {e^x}dx = left. {left( {x + 1} ight){e^x}} ight|_0^1 – intlimits_0^1 {{e^x}dx = e} )

c) Đặt (I = intlimits_0^pi  {{e^x}cos xdx} )

Đặt

(left{ matrix{
u = {e^x} hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {e^x}dx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Suy ra (I = left. {{e^x}{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} ight|_0^pi  – intlimits_0^pi  {{e^x}sin { m{x}}dx}  =  – intlimits_0^pi  {{e^x}sin { m{x}}dx} ) 

Đặt 

(left{ matrix{
u = {e^x} hfill cr
dv = sin { m{x}}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {e^x}dx hfill cr
v = – cos x hfill cr} ight.)

Do đó (I =  – left[ {left. {left( { – {e^x}cos x} ight)} ight|_0^pi  + intlimits_0^pi  {{e^x}cos xdx} } ight] = {e^pi }cos pi  – {e^0}.cos 0 – I)

( Rightarrow 2I =  – {e^pi } – 1 Rightarrow I =  – {1 over 2}left( {{e^pi } + 1} ight))      

b) Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Do đó (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos xdx = left. {xsin x} ight|_0^{{pi  over 2}}}  – intlimits_0^{{pi  over 2}} {sin { m{x}}dx = left. {left( {xsin x + cos x} ight)} ight|_0^{{pi  over 2}}}  = {pi  over 2} – 1)