Bài 17 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 17 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) (intlimits_0^1 {sqrt {x + 1} dx;} )              b) (intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{ an x} over {{{cos }^2}x}}} dx;)                     

c) (intlimits_0^1 {{t^3}} {left( {1 + {t^4}} ight)^3}dt;)        d) (intlimits_0^1 {{{5x} over {{{left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}} dx;)               

e) (intlimits_0^{sqrt 3 } {{{4x} over {sqrt {{x^2} + 1} }}} dx;)                 f) (intlimits_0^{{pi  over 6}} {left( {1 - cos 3x} ight)} sin 3xdx.) 

Giải

a) Đặt (u = sqrt {x + 1}  Rightarrow {u^2} = x + 1 Rightarrow 2udu = dx.)   

Đổi cận 

  

(intlimits_0^1 {sqrt {x + 1} } dx = intlimits_1^{sqrt 2 } {u.2udu = 2intlimits_1^{sqrt 2 } {{u^2}du} }  = left. {2.{{{u^3}} over 3}} ight|_1^{sqrt 2 } = {2 over 3}left( {2sqrt 2  - 1} ight))

b) Đặt (u = an x Rightarrow du = {{dx} over {{{cos }^2}x}})

(intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{ an x} over {{{cos }^2}x}}} dx = intlimits_0^1 {udu = } left. {{{{u^2}} over 2}} ight|_0^1 = {1 over 2})

c) Đặt (u = 1 + {t^4} Rightarrow du = 4{t^3}dt Rightarrow {t^3}dt = {{du} over 4})

(intlimits_0^1 {{t^3}left( {1 + {t^4}} ight)} dt = {1 over 4}intlimits_1^2 {{u^3}} du = left. {{1 over 4}{{{u^4}} over 4}} ight|_1^2 = {1 over {16}}left( {16 - 1} ight) = {{15} over {16}})

d) Đặt (u = {x^2} + 4 Rightarrow du = 2xdx Rightarrow xdx = {1 over 2}du)

(intlimits_0^1 {{{5x} over {{{left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}} dx = {5 over 2}intlimits_4^5 {{{du} over {{u^2}}}}  = left. {{5 over 2}left( { - {1 over u}} ight)} ight|_4^5 = {1 over 8})

e) Đặt (u = sqrt {{x^2} + 1}  Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1 Rightarrow udu = xdx)

(intlimits_0^{sqrt 3 } {{{4x} over {sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = 4intlimits_1^2 {{{udu} over u}}  = left. {4u} ight|_1^2 = 4)

f) Đặt (u = 1 - cos 3x Rightarrow du = 3sin 3xdx Rightarrow sin 3xdx = {1 over 3}du)

(intlimits_0^{{pi  over 6}} {left( {1 - cos 3x} ight)} sin 3xdx = {1 over 3}intlimits_0^1 {udu = left. {{{{u^2}} over 6}} ight|} _0^1 = {1 over 6})

soanbailop6.com