Bài 7 trang 105 Hình học 11: Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng....

Bài 7. Cho tứ diện (SABC) có cạnh (SA) vuông góc với mặt phẳng ((ABC)) và có tam giác (ABC) vuông tại (B). Trong mặt phẳng ((SAB)) kẻ từ (AM) vuông góc với (SB) tại (M). Trên cạnh (SC) lấy điểm (N) sao cho (frac{SM}{SB}=frac{SN}{SC}.) Chứng minh rằng:

a) (BC ⊥ (SAB)) và (AM ⊥ (SBC));

b) (SB ⊥ AN).

Giải

(H.3,35) 

a) (SA ⊥ (ABC) Rightarrow SA ⊥ BC)    (1),

Tam giác (ABC) vuông tại (B) nên (BC ⊥ AB)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BC ⊥ (SAB)).

 (BC ⊥ (SAB)) nên (BC ⊥ AM)  (3)

( AM ⊥ SB) (giả thiết)                    (4)

Từ (3) và (4) suy ra (AM ⊥ (SBC)).

b) (AM ⊥ (SBC)) nên (AMot SB)                                 (5)

Giả thiết (frac{SM}{SB}=frac{SN}{SC})  nên theo định lí ta lét ta có: (MN// BC)

Mà (BCot SB) (do (BCot (SAB))) do đó (MNot SB)       (6)

Từ (5) và (6) suy ra (SBot (AMN)) suy ra (SBot AN)

Nhận xét: Hình chóp trong các bài 4; 6; 7 thuộc loại hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (do đó nó có hai mặt bên vuông góc với đáy).