Bài 6 trang 119 sgk Hình học 11: Bài 5. Khoảng cách...

Bài 6. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh (AB) và (CD) của tứ diện (ABCD) là đường vuông góc chung của (AB) và (CD) thì (AC = BD) và (AD = BC).

Giải

(H.3.67) 

Qua (I) kẻ đường thẳng (d // CD), lấy trên (d) điểm (E, F) sao cho (IE = IF = frac{CD}{2}) ((I) là trung điểm của (EF)). (IJ) vuông góc với (CD) (Rightarrow IJ) vuông góc với (EF), mà (IJ) cũng vuông góc với (ABRightarrow IJ ot (AEBF)).

Ta có (CDFE) là hình bình hành có (IJ) là đường trung bình

Do đó (CE) và (DF) cùng song song với (IJ) 

Suy ra (CE) và (DF) cùng vuông góc với mp ((AEBF)) 

 (Rightarrow DF ⊥ AF, CE ⊥ IE).

(Delta AIF = Delta BIE(c.g.c)) suy ra: (AF=BE)

Xét (∆DFA) và (∆CEB) có:

  +) (widehat E = widehat F( = {90^0})) 

  +) (AF=BE)

  +) (DF=CE)

(Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c))

(Rightarrow AD = BC). 

Chứng minh tương tự ta được (BD = AC).