Bài 2 trang 119 hình học 11: Bài 5. Khoảng cách...

Bài 2. Cho tứ diện (S.ABC) có (SA) vuông góc với mặt phẳng ((ABC)). Gọi (H, K) lần lượt là trực tâm của tam giác (ABC) và (SBC).

a) Chứng minh ba đường thẳng (AH, SK, BC) đồng quy.

b) Chứng minh rằng (SC) vuông góc với mặt phẳng ((BHK)) và (HK) vuông góc với mặt phẳng ((SBC)).

c) Xác định đường vuông góc chung của (BC) và (SA).

Giải

a) Trong ((ABC)), gọi (E = AH ∩ BC).

(H) là trực tâm của tam giác (ABC) nên (AEot BC)   (1)

(SAot (ABC)Rightarrow SAot BC)                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BC ⊥ (SAE))( Rightarrow BC ⊥ SE).

(K) là trực tâm của tam giác (SBCRightarrow SE ) đi qua (K) (Rightarrow AH, BC, SK) đồng quy tại (E).

b) Trong ((ABC)) gọi (F = BH ∩ AC), trong ((SBC)) gọi (D = BK ∩ SC). Khi đó ((BHK) equiv (BDF))

(K) là trực tâm của tam giác (SBC) nên (BDot SC)     (*)

(H) là trực tâm của tam giác (ABC) nên (BFot AC)    (3)

(SAot (ABC)Rightarrow SAot BF)                                      (4)

Từ (3) và (4) suy ra (BFot (SAC)Rightarrow BFot SC)      (2*)

Từ (*) và (2*) suy ra (SCot (BDF) equiv (BHK)).

c) (AEot BC) và (SAot AERightarrow AE) là đường vuông góc chung của (BC) và (SA).