Bài 1.64 trang 46 bài tập SBT môn Toán Hình học 10: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý...

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:

(overrightarrow {MD}  + overrightarrow {ME}  + overrightarrow {MF}  = {2 over 3}overrightarrow {MO} )

Gợi ý làm bài

(Xem hình 1.73)

Qua M kẻ các đường thẳng sau: ({K_1}{K_4})//AB, ({K_2}{K_5})//AC, ({K_3}{K_6})//BC

({K_1},{K_2} in BC;{K_3},{K_4} in AC;{K_5},{K_6} in AB). Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {MD} + overrightarrow {ME} + overrightarrow {MF} cr
& = {1 over 2}(overrightarrow {M{K_1}} + overrightarrow {M{K_2}} + overrightarrow {M{K_3}} + overrightarrow {M{K_4}} + overrightarrow {M{K_5}} + overrightarrow {M{K_6}} ) cr} )

( = {1 over 2}(overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MC} ))

(Vì (M{K_5}A{K_4},M{K_3}C{K_2},M{K_1}B{K_6}) là các hình bình hành). Vậy

(overrightarrow {MD}  + overrightarrow {ME}  + overrightarrow {MF}  = {1 over 2}.3overrightarrow {MO}  = {3 over 2}overrightarrow {MO} )