Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số: (y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} – 3(m + 3)x – 5)...

Chứng minh rằng hàm số: (y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} – 3(m + 3)x – 5)  luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R

Hướng dẫn làm bài:

(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 6(m – 1)x – 3(m + 3) cr
& y’ = 0 Leftrightarrow  {x^2} – 2(m – 1)x – m – 3 = 0 cr} ) 

Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

( Leftrightarrow  Delta ‘ = {(m – 1)^2} + m + 3 = {m^2} – m + 4 ge 0) 

Ta thấy tam thức (Delta ‘ = {m^2} – m + 4) luôn dương với mọi (m in R) vì (delta  = 1 – 16 =  – 15 < 0) và a = 1 > 0.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.