Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm m để hàm số để:...

Tìm m để hàm số

a) (y = {x^4} + ({m^2} – 4){x^2} + 5) có 3 cực trị

b) (y = (m – 1){x^4} – m{x^2} + 3) có đúng một cực trị.

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :

(y’ = 4{x^3} + 2({m^2} – 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} – 4) = 0)  có 3 nghiệm phân biệt

(Leftrightarrow {x^2} + {m^2} – 4 = 0) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

(Leftrightarrow 4 – {m^2} > 0 Leftrightarrow  – 2 < m < 2)

Vậy với  – 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.

b) (y’ = 4(m – 1){x^3} – 2mx = 2x[2(m – 1){x^2} – m{ m{]}})

Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:

(2x[2(m – 1){x^2} – m{ m{] = 0}})  chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc ({m over {2(m – 1)}} le 0 Leftrightarrow  0 le m le 1)

Vậy với (0 le m le 1) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.