Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương...

Xác định m để hàm số: (y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 over 3})x + 5)  có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Hướng dẫn làm bài:

 (y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 over 3})x + 5)

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình  y’ = 0  có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có: 

Xét  y’ = 0, ta có: (y’ = 3{x^2} – 2mx + (m – {2 over 3}))

                       ∆’ > 0  khi m < 1 hoặc m > 2                    (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

(y'(1) = 3 – 2m + m – {2 over 3} = 0 <  =  > m = {7 over 3}) , thỏa mãn điều kiện  (*)

Với (m = {7 over 3}) thì hàm số đã cho trở thành:

(y = {x^3} – {7 over 3}{x^2} + {5 over 3}x + 5)           

Ta có:   

(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – {{14} over 3}x + {5 over 3} cr
& y” = 6x – {{14} over 3} cr} )        

Vì (y”(1) = 6 – {{14} over 3} > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và  ({y_{CT}} = {y_{left( 1 ight)}} = {{16} over 3}.)