tính chất và ý nghĩa vật lý của các đáp ứng

đáp ứng tự nhiên

đáp ứng tự nhiên là nghiệm của phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất, tương ứng với trường hợp không có tín hiệu vào (nguồn ngoài). dạng của đáp ứng tự nhiên tùy thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng, tức tùy thuộc các thông số của mạch. tính chất của đáp ứng tự nhiên xác định dễ dàng nhờ vị trí của nghiệm của phương trình đặc trưng trên mặt phẳng phức.

gọi alpha và beta là 2 số thực, cho biết khoảng cách từ nghiệm lần lượt đến trục ảo và trục thực.

ta có các trường hợp sau:

phương trình đặc trưng có nghiệm thực, phân biệt s 1,2 = alpha 1 , alpha 2

với trị thực của alpha , đáp ứng có dạng mũ (h 5.10)

tùy theo alpha >0, alpha =0 hay alpha <0 mà dạng sóng của đáp ứng là đường cong tăng theo t, đường thẳng hay đường cong giảm theo t.

(h 5.10)

phương trình đặc trưng có nghiệm phức s 1,2 =-alpha ± jbeta

- nếu đôi nghiệm phức nằm ở 1/2 trái của mặt phẳng (alpha và beta ≠ 0), đáp ứng là dao động tắt dần (h 5.11)

- nếu là nghiệm ảo (alpha =0 và beta ≠ 0), đáp ứng là một dao động hình sin (h 5.11)

- nếu đôi nghiệm phức nằm ở 1/2 phải của mặt phẳng (alpha và beta ≠ 0), đáp ứng là dao động biên độ tăng dần (h 5.11)

jomega

σ

(h 5.11)

 phương trình đặc trưng có nghiệm kép (h 5.13)

- nghiệm kép trên trục thực : s₁=s₂= -alpha , đáp ứng có giá trị tắt dần tới hạn

- nghiệm kép trên trục ảo s₁=s₂=+jbeta hoặc -jbeta y_n=k₁cos(beta t+₁) + k₂tcos(beta t+₂), đáp ứng là dao động biên độ tăng dần

jomega

+beta

-alpha σ

-beta

(h 5.13)

thí dụ 5.9

khảo sát phương trình đặc trưng của mạch rlc nối tiếp.

khi r thay đổi vẽ quỹ tích nghiệm s trên mặt phẳng phức

(h 5.14)

lấy đạo hàm 2 vế

phương trình đặc trưng

đặt (3) trở thành

(4)

* alpha =0 (r=0) s=+ jomega₀

đáp ứng tự nhiên là dao động hình sin có biên độ không đổi, r=0 có nghĩa là công suất không tiêu tán thành nhiệt nên năng lượng tích trữ ban đầu không mất đi mà được chuyển hóa và trao đổi qua lại giữa tụ điện (điện trường) và cuộn dây (từ trường).

* 0<alpha <omega₀

y_n(t)=ke^{-alpha t}cos(omega_dt+)

khoảng cách từ nghiệm đến gốc o của mặt phẳng phức là, khi alpha thay đổi, quỹ tích nghiệm là vòng tròn tâm o, bán kính omega₀ (h 5.14). đáp ứng tự nhiên là dao động hình sin có biên độ giảm dần theo dạng hàm mũ (do năng lượng mất đi dưới dạng nhiệt trên điện trở r).

được gọi là thừa số tắt dần.

được gọi là tần số góc giã và được gọi là chu kỳ giã của dao động tắt dần.

* alpha =omega₀ s₁=s₂=-alpha y_n(t)=(k₁+k₂t)e^{-alpha t}

đáp ứng có giá trị tắt dần tới hạn hay phi tuần hoàn.

* alpha >omega ₀ s_1,2=a<0 (2 nghiệm âm phân biệt trên trục thực)

đáp ứng tự nhiên tắt dần không dao động, nghĩa là r có trị khá lớn đủ để ngăn chận sự trao đổi năng lượng giữa l và c.

tóm lại, khi alpha <omega₀ hay r< mạch dao động hoặc tắt dần

(h 5.14)

r_c được gọi là điện trở tới hạn

đặt tỉ số giảm dao động

s²+2Womega₀s+omega₀²=0

* W=0, dao động thuần túy

* 0<W<1, dao động tắt dần

* W>1, tắt dần không dao động

* r<0 (hay W, alpha <0), phương trình đặc trưng có nghiệm nằm ở 1/2 mặt phẳng phải và đáp ứng tăng không giới hạn, ta nói mạch bất ổn. điện trở âm là một nguồn năng lượng, có được do tác dụng của một nguồn phụ thuộc lên một điện trở dương. khi mạch thụ động có chứa nguồn năng lượng, đáp ứng tự nhiên có thể có giá trị tăng mãi theo thời gian và tạo ra một sự bất ổn.

đáp ứng ép

đáp ứng ép của một mạch chính là nghiệm riêng của phương trình có vế 2, nó tùy thuộc cả tín hiệu vào và các thành phần trong mạch điện.

một trường hợp đặc biệt ảnh hưởng đến đáp ứng ép là khi một số hạng của f(t) có cùng dạng của y_n(t). lúc đó y_f(t) được nhân với t. về phương diện vật lý, điều này có nghĩa là mạch buộc phải đáp ứng như khi không có tín hiệu vào hay nói cách khác mạch bị kích thích theo một trong những cách vận chuyển tự nhiên của nó. nói nôm na là mạch đáp ứng nhạy hơn bình thường và điều này được biểu thị một cách toán học bằng cách nhân với thừa số t.

lưu ý là năng lượng tích trữ ban đầu chỉ ảnh hưởng đến độ lớn (các hằng số tích phân) chứ không ảnh hưởng đến dạng của y_n(t). mặt khác, các hằng số tích phân cũng tùy thuộc vào nguồn kích thích và các thành phần trong mạch. chính vì những lý do này mà người ta chỉ xác định các hằng số tích phân sau khi có kết quả cuối cùng (đáp ứng đầy đủ). tóm lại, khi tính toán đáp ứng của một mạch, các hằng số tích phân được xác định dựa trên đáp ứng đầy đủ y(t)=y_n(t)+y_f(t) và các điều kiện ban đầu.

ngoài ra, xét đến ảnh hưởng của đáp ứng của mạch theo diễn tiến thời gian, người ta chia đáp ứng của một mạch ra 2 thành phần: thành phần chuyển tiếp (giao thời, transient time) và thành phần thường trực (steady state).

- thành phần chuyển tiếp y_t(t): triệt tiêu sau một khoảng thời gian.

- thành phần thường trực y_ss(t): còn lại sau khi thành phần chuyển tiếp triệt tiêu.

nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều ở 1/2 mặt phẳng trái hở và đáp ứng ép không triệt tiêu khi t →∞ thì

y_t(t) = y_n(t)

y_ss(t) = y_f(t)