Số phức là gì, ý nghĩa và khái niệm số phức cùng ví dụ minh họa

Số phức là gì, giải nghĩa khái niệm số phức trong toán học cũng như các định nghĩa, phép tính liên quan và những ví dụ minh họa đầy đủ nhất. Số phức có một ý nghĩa rất lớn cả trong Đại số lẫn đời sống thực, nhưng chương trình giáo khoa thường bỏ quên phần này. Học sinh còn khó hiểu vềkhái niệm số phức. Giainghia.com cũng sẽ trả lời các câu hỏi như khái niệm số phức thuần ảo, số phức đối của z, số phức nghịch đảo, hay câu hỏi số 0 có phải là số phức không.

Tham khảo Các tập hợp số:

• N: Tập hợp số tự nhiên (Natural numbers)
• Z: Tập hợp số nguyên (Integers)
• Q: Tập hợp số hữu tỉ (Rational numbers)
• I = RQ: Tập hợp số vô tỉ (Irrational numbers)
• R: Tập hợp số thực (Real numbers)

Tập hợp số phức

Số phức là gì?

Như chúng ta đều biết, các phương trình bậc hai như x²  + 1 = 0 thì không có nghiệm thực, vì x²  không thể bằng – 1 được. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệp, người ta đã đưa ra khái niệm số thực, kí hiệu là i và coi đó là nghiệm của phương trình i² = -1.

Chúng ta có định nghĩa số phức như sau:

• Số phức là số có dạng z = a + bi, trong đó a và b là các số thực, còn i là đơn vị ảo với i² = -1.
• Trong biểu thức này, a được gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, còn i là đơn vị ảo.
• Tập hợp các số phức kí hiệu là C. Với dạng biểu thức C= {a + bi; a, b ∈ R và i² = -1}. Như vậy ta có R⊂C.
• Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = a∈R⊂C
• Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi. Đặc biệt i = 0 + 1.
• Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
• Số phức trong tiếng Anh là complex number. Vì thế nó mới có ký hiệu là C.

Như vậy, Số phức là trường hợp tổng quát hơn của số thực, hay ngược lại thì số thực là trường hợp cụ thể của số phức khi b=0.

Số thuần ảo là gì? trong biểu thức z = a + bi, Nếu b=0, số phức có dạng z = a được gọi là số thực, nếu a =0, số phức b.i được gọi là thuần ảo.

Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i, hai số này được gọi là bằng nhau (z=z’) nếu cả {a = a’ và b = b’ }.

Biểu diễn hình học của số phức

Tại sao tự nhiên người ta lại thêm đơn vị ảo I vào làm chi? Chúng ta có thể biểu diễn bằng đồ thị cho dễ hiểu, với hình minh họa là trục tọa độ không gian 2 chiều (mặt phẳng) Oxy.  Trong đó, trục x (trục hoành) biểu diễn cho phần số thực, còn trục y (trục tung) biểu diễn cho phần ảo. Vậy biểu diễn hình học của số phức như sau:

• Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
• Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
• Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Môđun của số phức: Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu |z|=|a+bi|= √(a²  + b²).

Lưu ý, véc tơ OM sẽ có mũi tên ngang ở trên đầu chữ OM, nhưng trên môi trường website không gõ được nên mọi người thông cảm.

Biểu diễn hình học số phức M (a,b)

Số phức liên hợp là gì? Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của z là z¯= a − bi. Chú ý: |z|=|z¯|; ∀z ∈ C. Hai điểm biểu diễn z và z¯ đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.

Số phức liên hợp

Phép Cộng, trừ số phức:

• Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi
• Cho z = a + b.i và z’ = a’ + b’i. Ta có z + z’ = (a ± a’) + (b ± b’)
• Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.

Phép nhân số phức:

• Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’.i. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i²  = –1 và rút gọn, ta được:
• k.z = k(a + bi) = ka + kb.i . Đặc biệt 0.z = 0 với ∀z∈C
• z¯ = (a + bi)(a – bi) hay z.z¯= a²  + b² =|z|²

Phép chia số phức:

• Số nghịch đảo của số phức z = a + bi ≠ 0 là z^-1 a= 1/z hay 1/(a + bi) = (a – bi)/( a²  + b² )
• Cho hai số phức z = a + bi ≠ 0 và z’ = a’ + b’i thì phép chia hai số phức z’/z= (z’. z¯ )/|z|²  hay (a’ + b’i)/(a + bi) = {(a’ + b’i)(a-bi)}/( a²  + b² ).

Ý nghĩa, vai trò của số phức trong đời sống

Trong tự nhiên có cái gì mà bình phương lên lại bằng -1 không? Câu trả lời là có: phép quay 90 độ có bình phương bằng -1!

Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằng số ảo i đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ (quanh điểm hay trục nào đó) trong tự nhiên! Còn số phức nói chung thì là một phép tổng hợp vừa quay vừa co giãn (phép biến đổi bảo toàn góc).

Chính vì “i chẳng qua là quay 90 độ” nên số phức có ý nghĩa rất lớn trong hình học phẳng và trong lượng giác. Nhiều vấn đề của hình học phẳng rất phức tạp, hay nhiều công thức lượng giác phức tạp, trở nên dễ dàng hơn khi sử dụng số phức để giải quyết.

Ngoài hình học phẳng, có thể kể ra vô số các vấn đề khác trong toán (ở mức độ cao hơn), mà nếu không có số phức thì cũng “chưa chết hẳn”, nhưng có số phức thì trở nên đẹp đẽ dễ dàng hơn nhiều, ví dụ như:

• Phân tích đa thức ra thừa số (nhơ có tính chất đóng của trường số phức nên phân tích được dễ dàng)
• Tính toán các tích phân
• Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúc toán học…

Trong vật lý ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều, Đặc biệt là trong vật lý lượng tử. Bởi vật lý liên quan đến hình học, có nhiều đại lượng không chỉ có độ lớn mà còn có hướng. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả điện xoay chiều (là thứ điện ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

Hy vọng bài viết này của giainghia.com đã giúp hạn hiểu khái niệm tập hợp số phức là gì. Việc nắm bắt kiến thức về số phức rất quan trọng, vì số phức có ý nghĩa to lớn trong đời sống, đặc biệt là hình học, lượng giác và vật lý. Tất nhiên, phần về số phức cũng khá khó hiểu đối với nhiều người, nhưng khi đã thông thạo rồi thì bạn sẽ thấy yêu mến ngay.