Lý thuyết đại cương về phương trình

Lý thuyết đại cương về phương trình

Phương trình một ẩn số x là mệnh đề chứa biến có dạng:

Lý thuyết về đại cương về phương trình

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình một ẩn

+ Phương trình một ẩn số (x) là mệnh đề chứa biến có dạng:

(f(x) = g(x))     (1)

trong đó (f(x), g(x)) là các biểu thức cùng biến số (x). Ta gọi (f(x)) là vế trái, (g(x)) là vế phải của phương trình.

+ Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

+ Nếu có số (x_0) thỏa mãn ĐKXĐ và (f(x_0)= g(x_0)) là mệnh đề đúng thì ta nói số (x_0) nghiệm đúng phương trình (1) hay (x_0) là một nghiệm của phương trình (1). Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm. Ví dụ: (2) là một nghiệm của phương trình: (2 = 3x - x^2)

2. Phương trình trương đương

Hai phương trình 

({f_1}left( x ight) = {g_1}left( x ight)) (1)

({f_2}left( x ight) = {g_2}left( x ight)) (2)

đươc gọi là tương đương, kí hiệu ({f_1}left( x ight) = {g_1}left( x ight)⇔ {f_2}left( x ight) = {g_2}left( x ight)) nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.

Định lí:

a) Nếu (h(x)) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình (f(x) = g(x)) thì 

(f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) = g(x))

b) Nếu (h(x)) thỏa mãn ĐKXĐ và khác (0) với mọi (x) thỏa mãn ĐKXĐ thì 

(f(x).h(x) = g(x).h(x)  ⇔ f(x) = g(x))

(frac{f(x)}{h(x)}=frac{g(x)}{h(x)}  ⇔ f(x) = g(x)).

3. Phương trình hệ quả

Phương trình ({f_2}left( x ight) = {g_2}left( x ight)) là phương trình hệ quả của phương trình ({f_1}left( x ight) = {g_1}left( x ight)), kí hiệu 

({f_1}left( x ight) = {g_1}left( x ight)) (Leftrightarrow )({f_2}left( x ight) = {g_2}left( x ight))
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.

Ví dụ: (2x = 3 - x Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0)