Giải SBT Toán 11 bài 3: Cấp số cộng

Toán 11 - Cấp số cộng

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 3: Cấp số cộng, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 11 bài 3

Bài 3.1 trang 117 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) với u_n=1−7n

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Giải:

a) Xét hiệu H=u_n+1−u_n=1−7(n+1)−(1−7n)=−7<0, vậy dãy số giảm.

b) Do u_n+1=u_n−7 nên dãy số (u_n) là cấp số cộng với u₁=−6;d=−7

Công thức truy hồi là

{u₁=−6;u_n+1=u_n−7 với n≥1

c) S₁₀₀=−35250

Bài 3.2 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

a) u_n=3n−1;

b) u_n=2ⁿ+1;

c) u_n=(n+1)²−n²;

d)

{u₁=3;u_n+1=1−u_n

Giải:

a) u_n+1−u_n=3(n+1)−1−3n+1=3

Vì u_n+1=u_n+3 nên (u_n) dãy số là cấp số cộng với u₁=2,d=3

b) u_n+1−u_n=2ⁿ⁺¹+1−2ⁿ−1=2ⁿ. Vì 2ⁿ không là hằng số nên dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

c) Ta có u_n=2n+1.

Vì u_n+1−u_n=2(n+1)+1−2n−1=2, nên dãy đã cho là cấp số cộng với u₁=3;d=2

d) Để chứng tỏ (u_n) không phải là cấp số cộng, ta chỉ cần chỉ ra, chẳng hạn u₃−u₂≠u₂−u₁ là đủ.

Bài 3.3 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n) biết:

a)

{u₁+2u₅=0;S₄=14

b)

{u₄=10;u₇=19

c)

{u₁+u₅−u₃=10;u₁+u₆=7

d)

{u₇−u₃=8;u₂.u₇=75

Giải:

a) u₁=8,d=−3

b) u₁=1,d=3

c) u₁=36,d=−13

d) u₁=3,d=2 hoặc u₁=−17,d=2.

Bài 3.4 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính số các số hạng của cấp số cộng (a_n), nếu

{a₂+a₄+...+a_2n=126

Giải:

ĐS: n = 6

Bài 3.5 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm cấp số cộng (u_n) biết

a)

Từ đây tìm được u₁=5,u₃=13 hoặc u₁=13,u₃=5

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5

b) Ta có

b²=u²₁+(u₁+d)²+...+[u₁+(n−1)d]²

=nu²₁+2u₁d[1+2+...+(n−1)]+d²[1²+2²+...+(n−1)²]

=nu²₁+n(n−1)u₁d+n(n−1)(2n−1)d²/6 (1)

Mặt khác, a=nu₁+n(n−1)d/2 (2)

Từ (2) tìm được u₁ thay u₁ vào (1) đểm tìm d.

Kết quả 

u₁=1/n.[a−n(n−1)2/d]

Bài 3.6 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho ba góc α,β,γ tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai d=π/3

Chứng minh:

a) tanα.tanβ+tanβ.tanγ+tanγ.tanα=−3

b) 4cosα.cosβ.cosγ=cos3

Giải:

Từ cấp số cộng α,β,γα,β,γ với công sai d=π/3 suy ra

α=β−π/3;γ=β+π/3

Thay α,γ vào hệ thức và áp dụng công thức cộng cung

Bài 3.7 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho cấp số cộng (u_n) chứng minh rằng

Nếu S_m/S_n=m²/n²

Thì u_m/u_n=2m−12/n−1

Giải:

Ta có S_m=2u₁+(m−1)d/2.m

S_n=2u₁+(n−1)d/2.n

Theo giả thiết

S_m/S_n=[2u₁+(m−1)d]m/[2u₁+(n−1)d]n=m²/n²

Suy ra (2u₁−d)(m−n)=0 (với m ≠ n ).

Từ đó u₁=d₂

Vậy u_m/u_n=u₁+(m−1)d/u₁+(n−1)d=d/2+(m−1)d/d/2+(n−1)d=2m−1/2n−1

Bài 3.8 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm x từ phương trình

a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng.

b) (2x+1)+(2x+6)+(2x+11)+...+(2x+96)=1010 biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng.

Giải:

a) Ta có

u₁=2,d=5,Sn=245

245=n[2.2+(n−1)5]/2

⇔5n²−n−490=0

Giải ra được n = 10

Từ đó tìm được x=u₁₀=2+9.5=47

b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11, ..., 96. Ta có

96=1+(n−1)5⇒n=20

Suy ra S₂₀=1+6+11+...+96=20(1+96)/2=970

Và 2x.20 + 970 = 1010

Từ đó x = 1

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 bài 3: Cấp số cộng. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.