Câu 97 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông ở A

Cho tam giác ABC vuông ở A, $widehat C = 30^circ ,BC = 10cm.$

a) Tính AB, AC.

b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Chứng minh:

MN // BC và MN = AB.

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Gợi ý làm bài

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:

(AB = BC.sin widehat C = 10.sin 30^circ  = 10.{1 over 2} = 5,(cm))

(AC = BC.cos widehat C = 10.cos 30^circ  = 10.{{sqrt 3 } over 2} = 5sqrt 3 ,(cm))

b) Ta có:

(BM ot BN$ (tính chất hai góc kề bù) $ Rightarrow widehat {MBN} = 90^circ ,(1))

(AM ot BM) (gt) ( Rightarrow widehat {AMB} = 90^circ ,(2))

(AN ot BN) (gt) ( Rightarrow widehat {ANB} = 90^circ ,(3))

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Suy ra: ∆AMB = ∆NBM (c.g.c)

(Rightarrow widehat {ABM} = widehat {NMB})

Mà (widehat {ABM} = widehat {MBC},(gt))

Suy ra: (widehat {NMB} = widehat {MBC})

Suy ra MN // BC (có cặp so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN.

c) Tam giác ABC vuông tại A nên (widehat B + widehat C = 90^circ )

Suy ra: (widehat B = 90^circ  - widehat C = 90^circ  - 30^circ  = 60^circ )

Suy ra: (widehat {ABM} = {1 over 2}widehat B = {1 over 2}.60^circ  = 30^circ )

Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:

(widehat {BAC} = widehat {AMB} = 90^circ )

(widehat {ACB} = widehat {ABM} = 30^circ )

Suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆MAB (g.g)

Tỉ số đồng dạng: (k = {{AB} over {BC}} = {5 over {10}} = {1 over 2})

Sachbaitap.com