Câu 50 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tính x và y.

Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG = AD + {3 over 2}EB.). Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng $100 + 4sqrt {13} ) (cm)

Giải

Theo giả thiết ta có: EB = 2x (cm)

Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x (cm)

AG = AD + DG ( = y + {3 over 2}EB = y + {3 over 2}.2x = y + 3x) (cm)

Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông, ta có phương trình:

(left( {y - 2x} ight)left( {y + 3x} ight) = {y^2})

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

(FC = sqrt {E{B^2} + D{G^2}}  = sqrt {4{x^2} + 9{x^2}}  = xsqrt {13} ) (cm)

Chu vi của ngũ giác ABCFG bằng: 

(eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA cr
& = AB + BC + CF + FG + GD + AD cr
& = y + y + xsqrt {13} + y - 2x + 3x + y cr
& = xleft( {1 + sqrt {13} } ight) + 4y cr} )

Chu vi ngũ giác bằng (100 + 4sqrt {13} ) (cm), ta có phương trình:

(xleft( {1 + sqrt {13} } ight) + 4y = 100 + 4sqrt {13} )

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {y - 2x} ight)left( {y + 3x} ight) = {y^2}} cr
{xleft( {1 + sqrt {13} } ight) + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{{y^2} + 3xy - 2xy - 6{x^2} = {y^2}} cr 
{left( {1 + sqrt {13} } ight)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{xy - 6{x^2} = 0} cr 
{left( {1 + sqrt {13} } ight)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{xleft( {y - 6x} ight) = 0} cr 
{left( {1 + sqrt {13} } ight)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y - 6x = 0} cr 
{left( {1 + sqrt {13} } ight)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr 
{left( {1 + sqrt {13} } ight)x + 4.6x = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr 
{left( {25 + sqrt {13} } ight)x = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr 
{x = {{4left( {25 + sqrt {13} } ight)} over {25 + sqrt {13} }}} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr 
{x = 4} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 24} cr 
{x = 4} cr} } ight. cr} )

Giá trị x = 4 và y = 24 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).

Sachbaitap.com