Câu 9 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11: Ôn tập chương IV – Giới hạn...

Bài 9. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B. Nếu ((u_n)) là dãy số tăng thì (lim u_n= + ∞)

C. Nếu (lim u_n= + ∞) và  (lim v_n= + ∞) thì (lim (u_n– v_n) = 0)

D. Nếu (u_n= a^n) và (-1< a < 0) thì (lim u_n=0)

Trả lời:

+) Câu A sai

“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.

Xét phần ví dụ sau:

Dãy số: ({u_n} = {{{{(-1)}^n}} over n})

Có (lim {{{{( – 1)}^n}} over n} = 0)

Ta có: ({u_1} =  – 1 < {u_2} = {1 over 2},{u_2} = {1 over 2} > {u_3} =  – {1 over 3})

(⇒ )  Không tăng cũng không giảm,

+) Câu B sai

“Nếu ((u_n)) là dãy số tăng thì (lim(u_n) = + ∞)” là mệnh đề sai, chẳng hạn:

Dãy số ((u_n)) với ({u_n} = 1 – {1 over n})

Xét ({u_{n + 1}} – {u_n} = (1 – {1 over {n + 1}}) – (1 – {1 over n}) = {1 over n} – {1 over {n + 1}} = {1 over {n(n + 1)}} > 0)

(⇒ (u_n)) là dãy số tăng.

 ({{mathop{ m limu} olimits} _n} = lim (1 – {1 over n}) = 1)

+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:

Hai dãy số ({u_n} = {{{n^2}} over {n + 2}},{v_n} = n + 1)

+ ({{mathop{ m limu} olimits} _n} = lim {{{n^2}} over {n + 2}} = lim {{{n^2}} over {{n^2}({1 over n} + {1 over {{n^2}}})}} = lim {1 over {{1 over n} + {2 over {n2}}}} =  + infty )

+ (lim {v_n} = lim (n + 1) =  + infty )

+ Nhưng :

(eqalign{
& lim ({u_n} – {v_n}) = lim left[ {{{{n^2}} over {n + 2}} – (n + 1)} ight] = lim {{ – 3n – 2} over {n + 2}} cr
& = lim {{n( – 3 – {2 over n})} over {n(1 + {2 over n})}} = lim {{ – 3 – {2 over n}} over {1 + {2 over n}}} = – 3 e 0 cr} )

+) Câu D đúng vì (lim q^n= 0) khi (|q| <1). Do đó: (-1 < a < 0) thì (lim q^n= 0)

Vậy chọn D.